Раскройте скобки и упростите (10x³ + 3x + 8)(4x³ − 8x − 9).

Step-by-step solution

1. 1

   План раскрытия скобок. В каждом множителе по три слагаемых, значит, по распределительному закону получится $3\times 3=9$ произведений. Обращается внимание: ни в одном из множителей нет члена с $x^{2}$ — именно на этом месте часто допускаются ошибки со знаками и степенями, поэтому степени удобно выписывать явно.

2. 2

   Раскроем скобки для первого члена $10x^{3}$.

   $10x^{3}\left(4x^{3}-8x-9\right)=40x^{6}-80x^{4}-90x^{3}$

3. 3

   Раскроем скобки для среднего члена $3x$.

   $3x\left(4x^{3}-8x-9\right)=12x^{4}-24x^{2}-27x$

4. 4

   Раскроем скобки для свободного члена $8$.

   $8\left(4x^{3}-8x-9\right)=32x^{3}-64x-72$

5. 5

   Соберём все девять слагаемых по степеням. Располагаем их по степеням:

   $\begin{aligned}x^{6}&:\ 40x^{6}\\ x^{5}&:\ \text{нет}\\ x^{4}&:\ -80x^{4}+12x^{4}=-68x^{4}\\ x^{3}&:\ -90x^{3}+32x^{3}=-58x^{3}\\ x^{2}&:\ -24x^{2}\\ x&:\ -27x-64x=-91x\\ \text{св. член}&:\ -72\end{aligned}$

6. 6

   Запишем окончательный ответ и проверим крайние члены. Получено:

   $40x^{6}-68x^{4}-58x^{3}-24x^{2}-91x-72$

   Быстрая проверка: старший коэффициент должен быть $10\times 4=40$ ✓, свободный член — $8\times(-9)=-72$ ✓. Ещё одна проверка: подставим $x=1$ — исходное выражение даёт $(10+3+8)(4-8-9)=21\times(-13)=-273$, а разложение даёт $40-68-58-24-91-72=-273$ ✓