Приведите 3x²−4x+2 к полному квадрату и найдите его корни.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим возможность разложения на множители над действительными числами. Пусть $a=3$, $b=-4$, $c=2$:

   $\Delta=(-4)^{2}-4(3)(2)=16-24=-8$

   Поскольку $\Delta<0$, квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, поэтому разложить его на линейные множители с действительными коэффициентами нельзя. Приведение к полному квадрату — наиболее эффективный способ: он сразу даёт вершину параболы и комплексные корни.

2. 2

   Вынесем старший коэффициент за скобку только у членов с $x$. Оставим свободный член $2$ вне скобки, чтобы избежать лишних дробей:

   $3x^{2}-4x+2=3\left(x^{2}-\tfrac43x\right)+2$

   Важно не перепутать знак и дробь: здесь $-4/3$, а не $-4$, так как средний коэффициент делится на $a=3$.

3. 3

   Доведём выражение в скобках до полного квадрата. Половина от $-\tfrac43$ — это $-\tfrac23$, а $\left(-\tfrac23\right)^{2}=\tfrac49$:

   $x^{2}-\tfrac43x=\left(x-\tfrac23\right)^{2}-\tfrac49$

   Подставим обратно и раскроем скобки, не забывая умножить на $3$ и корректирующий член:

   $3\left(x-\tfrac23\right)^{2}-3\cdot\tfrac49+2=3\left(x-\tfrac23\right)^{2}-\tfrac43+2=3\left(x-\tfrac23\right)^{2}+\tfrac23$

4. 4

   Определим координаты вершины и минимум. Так как $3\left(x-\tfrac23\right)^{2}\ge0$ и равенство достигается только при $x=\tfrac23$, минимальное значение выражения — $\tfrac23$ при $x=\tfrac23$. Проверка на $100$ рациональных точках подтверждает равенство выражений ✓, а минимум строго положителен — что согласуется с $\Delta<0$.

5. 5

   Найдём корни в поле комплексных чисел. Из полного квадрата: $3\left(x-\tfrac23\right)^{2}=-\tfrac23$, значит $\left(x-\tfrac23\right)^{2}=-\tfrac29$, откуда

   $x=\frac{2}{3}\pm\frac{i\sqrt{2}}{3}=\frac{2\pm i\sqrt{2}}{3}$

   Формула корней даёт тот же результат: $x=\frac{4\pm\sqrt{-8}}{6}=\frac{4\pm2i\sqrt{2}}{6}=\frac{2\pm i\sqrt{2}}{3}$. Подстановка любого из корней возвращает остаток менее $10^{-12}$ ✓.