Разделите 2x⁴ − x³ − 5x² + 2x + 2 на x − 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем схему Горнера и определяем подставляемое значение. Делитель $x-1$ — линейный и старший коэффициент равен 1, значит, схема Горнера применима. Приравниваем $x-1=0$, получаем $x=1$ — важно не перепутать знак: для делителя $x-1$ подставляется $+1$, а не $-1$.

2. 2

   Записываем коэффициенты делимого по порядку, включая нули. В данном многочлене присутствуют все степени, поэтому ряд коэффициентов такой:

   $2,\ -1,\ -5,\ 2,\ 2$

   (Если бы какая-то степень отсутствовала, на её месте обязательно ставится $0$ — забыть про это в схеме Горнера считается классической ошибкой.)

3. 3

   Начинаем схему Горнера: сносим первый коэффициент, далее умножаем на 1 и прибавляем к следующему.

   $2;\quad -1+2=1;\quad -5+1=-4;\quad 2+(-4)=-2;\quad 2+(-2)=0$

   Поскольку подставляемое значение — $1$, каждое умножение не меняет число, и схема Горнера превращается в последовательное суммирование.

4. 4

   Считываем коэффициенты частного и остаток. Первые четыре числа — это коэффициенты частного (степень на единицу меньше исходной), последнее — остаток:

   $\text{частное}=2x^{3}+x^{2}-4x-2,\qquad \text{остаток}=0$

5. 5

   Поясняем смысл нулевого остатка. По теореме о корне, если остаток $0$, то $x=1$ — корень исходного многочлена, а $(x-1)$ — его делитель:

   $2x^{4}-x^{3}-5x^{2}+2x+2=(x-1)\left(2x^{3}+x^{2}-4x-2\right)$

   Действительно, сумма коэффициентов исходного многочлена $2-1-5+2+2=0$ — это и есть быстрый признак корня $x=1$.

6. 6

   Проверяем обратным умножением и продолжаем разложение. Если раскрыть скобки $(x-1)\left(2x^{3}+x^{2}-4x-2\right)$, получится исходный многочлен — проверка выполнена. Кубический множитель также разлагается группировкой: $x^{2}(2x+1)-2(2x+1)=(2x+1)\left(x^{2}-2\right)$, то есть полное разложение: $(x-1)(2x+1)\left(x^{2}-2\right)$, а корни — $1,\ -\tfrac12,\ \pm\sqrt2$.