Раскройте скобки и упростите (x + 1)(x² − x + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Распишем произведение бинома на трёхчлен. Представим $(x+1)$ как сумму двух слагаемых и умножим каждое на весь второй множитель:

   $(x+1)(x^2-x+1)=x(x^2-x+1)+1\cdot(x^2-x+1)$

2. 2

   Раскроем каждое произведение по отдельности.

   $x(x^2-x+1)=x^3-x^2+x$

   $1\cdot(x^2-x+1)=x^2-x+1$

3. 3

   Сложим и увидим сокращение средних членов.

   $x^3-x^2+x+x^2-x+1$

   $-x^2$ и $+x^2$ взаимно уничтожаются, так же как $+x$ и $-x$. В результате из шести слагаемых остаётся только два:

   $x^3+1$

4. 4

   Поймём, почему сокращение было неизбежно. Это обратное применение формулы суммы кубов:

   $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$

   Если взять $a=x$, $b=1$, то второй множитель становится $x^2-x\cdot 1+1^2=x^2-x+1$ — именно то, что было дано. Знаки в $a^2-ab+b^2$ специально чередуются, чтобы при раскрытии скобок средние члены сокращались. Если бы был $(x^2+x+1)$, то он сочетался бы с $(x-1)$ и давал $x^3-1$.

5. 5

   Проверим на конкретных значениях. При $x=2$ исходное выражение: $(3)(4-2+1)=3\cdot 3=9$, а $x^3+1=8+1=9$. ✓ При $x=-1$ обе части дают $0$, что согласуется с тем, что $x=-1$ — единственный вещественный корень $x^3+1$.