Поезд должен был пройти расстояние между двумя городами за 10 часов. Первые 9 часов он шёл с запланированной скоростью, затем снизил её на 7 км/ч и прибыл с опозданием на 6 минут. Найти первоначальную скорость поезда.

Step-by-step solution

1. 1

   Возьмём за неизвестное скорость и выразим через неё расстояние. Пусть $v$ — первоначальная скорость в км/ч. Так как по плану путь занимал $10$ часов при скорости $v$, всё расстояние равно

   $S=10v$

   Выбор в качестве неизвестного именно $v$, а не $S$, сохраняет выкладки линейными — расстояние затем сокращается само собой.

2. 2

   Разобьём поездку на два участка. За первые $9$ часов поезд проходит $9v$ км, поэтому оставшееся расстояние равно

   $10v-9v=v\ \text{км}$

   Это изящное следствие выбранных обозначений: длина остатка пути численно совпадает со скоростью.

3. 3

   Запишем опоздание в виде уравнения. Оставшийся участок пройден со скоростью $v-7$ км/ч и занял $\dfrac{v}{v-7}$ часов. Шесть минут — это $\tfrac{6}{60}=\tfrac{1}{10}$ часа, поэтому фактически поездка длилась $10+\tfrac1{10}=\tfrac{101}{10}$ часов:

   $9+\frac{v}{v-7}=\frac{101}{10}$

4. 4

   Решим полученное дробно-рациональное уравнение. Вычтем $9$:

   $\frac{v}{v-7}=\frac{101}{10}-\frac{90}{10}=\frac{11}{10}$

   Умножая крест-накрест, получаем $10v=11(v-7)=11v-77$, откуда $v=77$ км/ч. Посторонний случай $v=7$ исключён, так как при нём сниженная скорость обратилась бы в нуль.

5. 5

   Проверим по условию задачи. Расстояние $=10\cdot77=770$ км. За первые $9$ часов пройдено $693$ км, остаётся $77$ км при скорости $77-7=70$ км/ч, что занимает $77/70=1.1$ ч $=1$ ч $6$ мин. Итого $9+1.1=10.1$ ч, то есть ровно на $6$ минут больше запланированных $10$ часов ✓.