Множество решений неравенства a(x−1)/(x−2) > 2 обозначено как A, и 3 не принадлежит A. Найдите диапазон a.

Step-by-step solution

1. 1

   Нет необходимости решать неравенство полностью. Чтобы найти $A$ для любого $a$, пришлось бы строить числовую прямую с учётом знака $a$ и особенностей при $x=2$. Но задача спрашивает только про одну точку, поэтому достаточно просто подставить $x=3$ — это и есть вся суть сокращения.

2. 2

   Проверим допустимость $x=3$. Выражение не определено только при $x=2$. Так как $3\ne 2$, точка $x=3$ входит в область определения, значит, «$3\notin A$» действительно означает, что неравенство не выполняется при $x=3$, а не становится неопределённым.

3. 3

   Подставим $x=3$.

   $\frac{a(3-1)}{3-2}=\frac{2a}{1}=2a$

   Таким образом, принадлежность $3$ множеству $A$ эквивалентна неравенству $2a>2$.

4. 4

   Отрицание условия принадлежности. $3\notin A$ означает, что строгое неравенство не выполняется:

   $2a>2\ \text{ ложно }\iff 2a\le 2\iff a\le 1$

   Отрицание строгого неравенства включает равенство, поэтому $a=1$ допустимо: тогда левая часть равна $2$, что не больше $2$.

5. 5

   Проверим на границе и вне её. При $a=1$: $\tfrac{1(3-1)}{3-2}=2$, и $2>2$ ложно, значит, $3\notin A\;\checkmark$. При $a=1{,}5$: значение $3>2$, значит, $3\in A$ — правильно исключено. При $a=0$: значение $0>2$ — ложно, значит, $3\notin A\;\checkmark$. Следовательно, диапазон: $a\le 1$.