Решите квадратное уравнение −10x² + 5x + 19 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выписываем коэффициенты как есть. При $a = -10$, $b = 5$, $c = 19$ умножать уравнение на $-1$ не нужно: формула корней прекрасно работает и с отрицательным старшим коэффициентом, если не забыть про знак в $2a$.

2. 2

   Вычисляем дискриминант.

   $b^2 - 4ac = 25 - 4(-10)(19) = 25 + 760 = 785$

   Он положителен, значит корней два и они различны. Двойной минус в $-4ac$ — как раз то место, где обычно теряют знак: $-4 \times (-10) \times 19$ даёт $+760$, а не $-760$.

3. 3

   Смотрим, упрощается ли радикал. Разложение $785 = 5 \times 157$, причём $157$ — простое число. Ни один множитель не повторяется, поэтому вынести из $\sqrt{785}$ нечего и корень остаётся как есть; численно $\sqrt{785} \approx 28.017851$.

4. 4

   Подставляем в формулу и приводим знаки в порядок.

   $x = \frac{-5 \pm \sqrt{785}}{2(-10)} = \frac{-5 \pm \sqrt{785}}{-20} = \frac{5 \mp \sqrt{785}}{20}$

   Поскольку знак $\pm$ всё равно охватывает оба варианта, это то же самое множество, что и $\dfrac{5 \pm \sqrt{785}}{20}$.

5. 5

   Вычисляем и проверяем по теореме Виета.

   $x_1 = \frac{5 + 28.017851}{20} \approx 1.650893, \qquad x_2 = \frac{5 - 28.017851}{20} \approx -1.150893$

   Их сумма равна $0.500000 = -\tfrac{b}{a} = \tfrac{5}{10}$, а произведение — $-1.900000 = \tfrac{c}{a} = \tfrac{19}{-10}$. Подстановка $x_1$ в уравнение даёт $0$ с точностью до $4 \times 10^{-15}$.