Решить уравнение 2x² − x − 6 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Применяем метод ac, поскольку старший коэффициент не равен единице. При $a=2$, $b=-1$, $c=-6$ ищем два числа, произведение которых равно $ac=2\times(-6)=-12$, а сумма равна $b=-1$. Подбор по делителям одного только $c$ здесь не сработал бы.

2. 2

   Находим нужную пару. Пары множителей числа $-12$ таковы: $(1,-12),(2,-6),(3,-4),(4,-3),(6,-2),(12,-1)$; сумму $-1$ даёт пара $3$ и $-4$, ведь $3+(-4)=-1$ и $3\times(-4)=-12$.

3. 3

   Разбиваем средний член и группируем.

   $2x^2+3x-4x-6=0$

   $x(2x+3)-2(2x+3)=0$

   $(2x+3)(x-2)=0$

   Общая скобка $(2x+3)$, появившаяся в обеих группах, подтверждает, что разбиение сделано верно.

4. 4

   Пользуемся свойством произведения, равного нулю.

   $2x+3=0\Rightarrow x=-\frac32,\qquad x-2=0\Rightarrow x=2$

   $\boxed{x=2\ \text{или}\ x=-\tfrac{3}{2}}$

5. 5

   Проверяем оба корня. При $x=2$: $2(4)-2-6=8-8=0$. При $x=-\tfrac32$: $2\left(\tfrac94\right)+\tfrac32-6=\tfrac92+\tfrac32-6=6-6=0$. Оба значения обращают уравнение в верное равенство.

6. 6

   Подтверждаем теоремой Виета. Сумма корней должна равняться $-b/a=\tfrac12$, а произведение — $c/a=-3$. Действительно, $2+(-\tfrac32)=\tfrac12$ и $2\times(-\tfrac32)=-3$, значит ни у одного корня не потерян знак.