Разложите x/(x − 2)² на простейшие дроби.

Step-by-step solution

1. 1

   Перепишем числитель через основу знаменателя. Знаменатель построен из $x-2$, поэтому выразим $x$ через тот же блок:

   $x=(x-2)+2$

   Это тождество, поэтому никаких допущений не сделано — числитель просто переставлен.

2. 2

   Подставим и разобьём одну дробь на две.

   $\frac{x}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)+2}{(x-2)^2}=\frac{x-2}{(x-2)^2}+\frac{2}{(x-2)^2}$

3. 3

   Сократим в первой дроби. Один множитель $(x-2)$ уходит:

   $\frac{x-2}{(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}$

   $\frac{x}{(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}+\frac{2}{(x-2)^2},\qquad x\neq 2$

4. 4

   Сравним с алгебраическим способом. Запись $\tfrac{x}{(x-2)^2}=\tfrac{A}{x-2}+\tfrac{B}{(x-2)^2}$ даёт $x=A(x-2)+B$, откуда $A=1$ и $B=2$ — тот же ответ. Приём с числителем приходит к нему в одну строку, и его стоит узнавать всякий раз, когда числитель линеен, а знаменатель — кратный линейный множитель.

5. 5

   Проверим численно. При $x=4$: слева $=\tfrac44=1$, справа $=\tfrac12+\tfrac24=1$ $\checkmark$. При $x=0$: слева $=0$, справа $=-\tfrac12+\tfrac24=0$ $\checkmark$.