Решите уравнение 0.02x² + 0.06x + 0.18 = 2.91. Запишите точные корни в виде радикалов и их десятичные приближения.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала приведём уравнение к стандартному виду. Формула корней применима только к записи $ax^{2}+bx+c=0$, поэтому прежде всего вычтем $2.91$ из обеих частей:

   $0.02x^{2}+0.06x+0.18-2.91=0\;\Longrightarrow\;0.02x^{2}+0.06x-2.73=0.$

   Заметьте, что свободный член стал отрицательным, а это уже говорит, что корни окажутся разных знаков (их произведение $c/a$ отрицательно).

2. 2

   Избавимся от десятичных дробей, умножив всё на 100. Десятичные коэффициенты делают ручное вычисление дискриминанта мучительным и провоцируют ошибки округления. Умножение каждого слагаемого на $100$ — равносильное преобразование, а не приближение:

   $2x^{2}+6x-273=0.$

   Проверим каждое слагаемое: $0.02\times100=2$, $0.06\times100=6$, $-2.73\times100=-273$. Все три коэффициента стали целыми.

3. 3

   Применим формулу корней при $a=2$, $b=6$, $c=-273$. Подставляя, получаем

   $x=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4(2)(-273)}}{2(2)}=\frac{-6\pm\sqrt{36+2184}}{4}=\frac{-6\pm\sqrt{2220}}{4}.$

   Знаковая ловушка спрятана в $-4ac=-4(2)(-273)=+2184$: два минуса делают дискриминант больше, а не меньше. Поскольку $2220>0$, действительных корней два и они различны.

4. 4

   Упростим радикал и сократим общий множитель. Вынесем из $2220$ наибольший квадратный множитель:

   $2220=4\cdot 555,\qquad \sqrt{2220}=2\sqrt{555},$

   а число $555=3\cdot 5\cdot 37$ квадратных множителей не содержит, так что упрощение доведено до конца. Тогда

   $x=\frac{-6\pm 2\sqrt{555}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{555}}{2}.$

   Именно сокращение двойки во всех трёх частях дроби превращает громоздкий ответ в аккуратный.

5. 5

   Вычислим приближения и проверим оба корня в исходном уравнении. При $\sqrt{555}\approx 23.5584$

   $x\approx\frac{-3+23.5584}{2}\approx 10.2792,\qquad x\approx\frac{-3-23.5584}{2}\approx-13.2792.$

   Подставим $x=10.2792$: $0.02(105.66)+0.06(10.2792)+0.18=2.1132+0.6168+0.18=2.9100$ ✓. Такая же проверка для $x=-13.2792$ тоже даёт $2.91$ ✓. Оба корня симметричны относительно вершины $x=-1.5$, как и должно быть.