Найдите область определения функции f(x) = (2x + 9) / (x³ + 3x² – x – 3). Ответ дайте в виде интервалов.

Step-by-step solution

1. 1

   Сведём задачу к поиску нулей знаменателя. Рациональная функция определена всюду, где её знаменатель не равен нулю, то есть область определения — $\mathbb{R}$ за вычетом корней уравнения $x^{3}+3x^{2}-x-3=0$. Числитель $2x+9$ не накладывает ограничений. В данном случае, поскольку в многочлене четыре слагаемых и нет общего множителя, удобно применять группировку, а не признак рационального корня.

2. 2

   Разложим кубический многочлен группировкой. Разделим выражение на первые два и последние два слагаемых и вынесем общие множители:

   $x^{3}+3x^{2}-x-3=x^{2}(x+3)-1(x+3)=\left(x^{2}-1\right)(x+3)$

   Группировка сработала, потому что обе пары дали одинаковый множитель $(x+3)$.

3. 3

   Доведём разложение до конца с помощью разности квадратов. Поскольку $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$, знаменатель полностью раскладывается на линейные множители:

   $x^{3}+3x^{2}-x-3=(x-1)(x+1)(x+3)$

4. 4

   Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти исключаемые значения.

   $x-1=0\ \Rightarrow\ x=1,\qquad x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1,\qquad x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3$

   Ни одно из этих значений не обращает числитель в ноль ($2x+9$ принимает значения $11$, $7$ и $3$ соответственно), значит, все три точки — вертикальные асимптоты, а не устранимые разрывы.

5. 5

   Запишем область определения в виде интервалов. Исключая три точки из числовой прямой, получаем четыре открытых интервала, записываемых по возрастанию:

   $(-\infty,-3)\cup(-3,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)$

6. 6

   Проверим разложение численно. Подставляя $x=0,1,2,3$ в $(x-1)(x+1)(x+3)-\left(x^{3}+3x^{2}-x-3\right)$, получаем $0$ во всех случаях, значит, других исключаемых значений нет.