Решите уравнение 2(x² + 1/x²) − 11(x − 1/x) + 8 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем замену под ту скобку, которая есть в уравнении. В уравнении присутствует $x-\tfrac1x$, поэтому положим

   $t=x-\frac1x\qquad(x\neq 0)$

   Возведение в квадрат даёт $t^{2}=x^{2}-2+\tfrac{1}{x^{2}}$, откуда

   $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}+2$

   Обратите внимание на плюс $2$. При другой распространённой замене $t=x+\tfrac1x$ константа была бы $-2$; путаница между этими двумя случаями — классическая ошибка.

2. 2

   Переписываем уравнение относительно t.

   $2\left(t^{2}+2\right)-11t+8=0\quad\Longrightarrow\quad 2t^{2}-11t+12=0$

3. 3

   Решаем квадратное уравнение относительно t.

   $t=\frac{11\pm\sqrt{121-96}}{4}=\frac{11\pm 5}{4}\quad\Longrightarrow\quad t=4\ \text{или}\ t=\frac32$

4. 4

   Возвращаемся к x при t = 4.

   $x-\frac1x=4\ \Longrightarrow\ x^{2}-4x-1=0\ \Longrightarrow\ x=2\pm\sqrt5$

   Оба корня вещественные, так как дискриминант равен $16+4=20>0$.

5. 5

   Возвращаемся к x при t = 3/2.

   $x-\frac1x=\frac32\ \Longrightarrow\ 2x^{2}-3x-2=0\ \Longrightarrow\ (2x+1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{или}\ x=-\frac12$

   $\boxed{x=2+\sqrt5,\ 2-\sqrt5,\ 2,\ -\tfrac12}$

6. 6

   Объясняем, почему уцелели все четыре корня, и проверяем один. В отличие от родственного уравнения с заменой $t=x+\tfrac1x$ (где условие $|t|\ge 2$ отсекает часть ветвей), выражение $t=x-\tfrac1x$ принимает любое вещественное значение, поэтому ни одна ветвь не отпадает. Проверим $x=2$: $x^{2}+\tfrac{1}{x^{2}}=4.25$ и $x-\tfrac1x=1.5$, так что $2(4.25)-11(1.5)+8=8.5-16.5+8=0$ ✓.