Найдите область определения функции f(x) = 1 / (8/(x − 5) − 2) и запишите её в виде промежутков.

Step-by-step solution

1. 1

   Считаем знаменатели, а не дроби. У многоэтажной дроби мест, где она может «сломаться», больше одного. У этой функции их два: внутренний знаменатель $x-5$ и внешний знаменатель $\frac{8}{x-5}-2$. Оба должны быть отличны от нуля, и каждый даёт своё исключаемое значение.

2. 2

   Ограничение 1 — внутренний знаменатель. Выражение $\frac{8}{x-5}$ требует, чтобы

   $x-5\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne 5.$

3. 3

   Ограничение 2 — внешний знаменатель. Приравняем внешний знаменатель к нулю, решим уравнение и исключим найденный корень:

   $\frac{8}{x-5}-2=0\ \Longrightarrow\ \frac{8}{x-5}=2\ \Longrightarrow\ 8=2(x-5)\ \Longrightarrow\ x=9,$

   значит, $x\ne 9$.

4. 4

   Почему ограничения нужно находить до упрощения. Умножив числитель и знаменатель на $x-5$, получим аккуратную запись

   $f(x)=\frac{x-5}{8-2(x-5)}=\frac{x-5}{18-2x}.$

   По ней всё ещё видно, что $x\ne 9$ (ведь $18-2x=0$ при $x=9$), но ограничение $x\ne 5$ она потеряла полностью. Сначала упростить, а потом считывать область определения по упрощённому выражению — самый распространённый способ ошибиться в такой задаче.

5. 5

   Записываем область определения в виде промежутков. Выбросив из числовой прямой две изолированные точки, получаем три открытых промежутка:

   $(-\infty,5)\cup(5,9)\cup(9,\infty).$