Решите неравенство x² · log₂(x) < 100000000.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала зафиксируем область определения. Выражение $\log_{2}x$ требует $x>0$, поэтому всё рассуждение живёт на $(0,\infty)$. Любой ответ, включающий отрицательные $x$ или $x=0$, неверен ещё до начала анализа.

2. 2

   Отдельно разберём случай $0<x\le 1$ — это ничего не стоит. На $(0,1)$ имеем $\log_{2}x<0$ при $x^{2}>0$, поэтому произведение отрицательно и заведомо меньше $10^{8}$; например, при $x=0.5$ левая часть равна $-0.25$. При $x=1$ она в точности равна $0$. Значит, весь промежуток $(0,1]$ удовлетворяет неравенству.

3. 3

   Покажем, что при $x>1$ левая часть строго возрастает. Дифференцируя $h(x)=x^{2}\log_{2}x=\dfrac{x^{2}\ln x}{\ln 2}$, получаем $h'(x)=\frac{2x\ln x+x}{\ln 2}=\frac{x\left(2\ln x+1\right)}{\ln 2},$ и это положительно всякий раз, когда $\ln x>-\tfrac12$, а значит при всех $x>1$. Строго возрастающая функция пересекает уровень $10^{8}$ ровно один раз, поэтому множество решений обязано быть единственным промежутком $(0,x_{0})$.

4. 4

   Локализуем точку пересечения. Вычислим $h$: $h(2900)=96\,730\,450.73,\qquad h(2945)=99\,948\,390.39,\qquad h(2946)=100\,020\,529.48,\qquad h(3000)=103\,956\,721.07.$ Знак разности $h(x)-10^{8}$ меняется между $2945$ и $2946$, значит там и лежит $x_{0}$. Именно здесь нужна аккуратность: оценка около $2954$ уже перескакивает границу, ведь $h(2954.5)=100\,634\,817$.

5. 5

   Уточним корень делением отрезка пополам. Измельчая отрезок $[2945,2946]$ делением пополам, получаем $x_{0}=2945.715457.$ Проверка: $x_{0}^{2}=8\,677\,239.5517$ и $\log_{2}x_{0}=11.524402364$, а их произведение равно $100\,000\,000.0000$ — значит $x_{0}$ действительно корень уравнения $x^{2}\log_{2}x=10^{8}$.

6. 6

   Соберём множество решений. Объединяя оба участка, $0<x<2945.715457,$ то есть $x\in\left(0,\,2945.715457\right)$ с точностью до шести знаков после запятой. Конец промежутка исключён, поскольку неравенство строгое.