Algebra
Real algebra questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
La solución de (|x − 2| − x)/(x² − 4) ≤ 0 es (−2, 1] ∪ (2, +∞). Se separa el valor absoluto en x = 2, se arma la tabla de signos y se ve por qué x = 1 entra y ±2 no.
La solución es x ≤ -9/2, es decir el intervalo (-infinito, -9/2]. Se separa la cadena en dos desigualdades, se cancelan los términos x^2 y se intersecan.
a^3 + b^3 siempre es mayor o igual que a^2b + ab^2, con igualdad solo si a = b: la diferencia factoriza como (a + b)(a - b)^2, un producto no negativo.
La solución real es x = −33. Se eleva al cubo para quitar el exponente 1/3, se resuelve 2x + 2 = −64 y se ve por qué una raíz impar no crea soluciones extrañas.
El conjunto solución es (-inf, -2) U (1, 3). Se hallan los tres ceros, se parte la recta real y se lee el signo del producto en cada tramo con tabla de signos.
El polinomio es f(x) = 5(x + 3)(x - 6)(x - 10) = 5x³ - 65x² + 60x + 900. Cada cero se convierte en un factor y el coeficiente principal fija la escala.
La suma de las raíces es 10. Se resta el patrón lineal 4x - 3, se factoriza la diferencia como a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) y con Vieta la constante a se cancela.
El cociente incremental se simplifica a 2x + h - 5. Se desarrolla f(x + h), se resta f(x), se saca h de factor común en el numerador y se cancela, paso a paso.
El dominio de f(x) = 1/(8/(x − 5) − 2) es (−∞, 5) ∪ (5, 9) ∪ (9, ∞). Una fracción compleja esconde dos restricciones: el denominador interno y el externo.
La respuesta es ab = -1/4, con a = -1/2 y b = 1/2. Que la solución esté entre las raíces obliga a que a < 0, y el término independiente 1 fija la escala.
La respuesta es 5/4. Se despeja el conjugado de z-1, se racionaliza el denominador, se conjuga a ambos lados para recuperar z y se aplica |z|^2 = a^2 + b^2.
x = 6. Si y = 2x^2 - 21x + 64 y y = 3x + a se cortan una sola vez, la cuadrática tiene raíz doble: x = 24/4 = 6 y a = -8. Método del discriminante paso a paso.
La ecuación tiene una única raíz, x = -3, así que la suma de sus raíces es -3. El cambio de base convierte el cociente de logaritmos en un solo logaritmo.
La solución es x ≤ −5/2, x = 0 o 1/6 ≤ x < 1/2. Se separa según el signo de x, se divide entre x (invirtiendo el sentido si x < 0) y se usa que log base 1/3 decrece.
Demostración de que si una matriz cuadrada conmuta con todas las matrices del mismo tamaño, entonces es λI. Se usan las matrices unidad E_ij en la prueba.
Mezclando 10 L de la solución al 20% con 10 L de la del 50% se obtienen 20 L al 35%. Se plantean las ecuaciones de volumen y de alcohol puro y se resuelve.
La diferencia se reduce a 12a^2b^2 - 5ab^5, un binomio de grado 6. Se ve por qué al restar se cancelan los términos a^3b y por qué el grado suma los exponentes.
La entrada que falta en el cociente es A = −3, así que el cociente es x − 3 con resto 0. Se explica cómo se genera cada casilla de la tabla de división.
Las raíces son x = (11 - √29)/2 = 2.807 y x = (3 + √13)/2 = 3.303. Se separa en x = 3, se resuelve una cuadrática en cada rama y se conservan las raíces válidas.
Respuesta: 2 − 2√3 ≤ x ≤ 2 + 2√3. Las raíces dan f(x) = a(x + 1)(x − 5), el mínimo −18 en el vértice x = 2 obliga a a = 2, y luego se resuelve 2x² − 8x − 10 ≤ 6.
Las soluciones reales son x = −12 y x = −13. Se sustituye u = x + 4 para convertir la ecuación en u² + 17u + 72 = 0, se factoriza y se vuelve a la variable x.
El mayor valor posible de n es 14. Al factorizar f(x) = a(x - 1)(x + 7) resulta b = 6a, así que a + b = 7a, y el menor entero permitido es a = 2, lo que da 14.
La respuesta es 7/4 < k < 13/6. Las condiciones de signo f(0) > 0, f(1) < 0, f(2) < 0 y f(3) > 0 fijan el parámetro, y el producto de las raíces lo verifica.
La respuesta es (2√7 − 2√2)/5. Se multiplica arriba y abajo por el conjugado √7 − √2 y la diferencia de cuadrados elimina las dos raíces del denominador.
El resto es 26x − 47. Si f(x) deja resto 2x + 1 al dividir entre 2x² − 3x + 4, basta elevar al cubo ese resto y reducirlo con la regla x² = (3x − 4)/2.
Se usa el teorema del resto para dividir x³ − 2 entre x − 1 en un solo paso, sin división larga, y se explica por qué el resto es una constante y no un polinomio.
La velocidad de ida es 50 km/h y la de vuelta 60 km/h. Se pasan 4 h 24 min a 4.4 h, se escribe cada tiempo como distancia sobre velocidad y se resuelve 220/v = 4.4.
La respuesta es 3037. La ecuación característica (r − 2)² = 0 da a_n = (A + Bn)2^n, de modo que a_2025 = 6,149,925 × 2^2025 y b/c = 6,149,925/2025 = 3037.
El término 19 vale 91.66672 y su parte entera es 91. Las diferencias se reducen a la mitad y alternan de signo, y la sucesión converge a (a1 + 2a2)/3 = 275/3.
La respuesta es m^8/(256 n^44). Se divide dentro para llegar a −4m^−2n^11 y se eleva cada factor a −4; la base negativa con exponente par queda positiva.
Toda la expresión se reduce a a⁴b. Se factoriza ab, se aplica la identidad de la suma de los cubos, se distribuye y los términos ab⁴ se cancelan exactamente.
Toda la expresión se reduce a a. Se combina cada paréntesis sobre a+b, se invierte el segundo por el exponente −1, se cancela y luego se resta el 3b final.
La respuesta es 17. Se pasa 2 log5(√x + 2) a log5 de un cuadrado, se quitan los logaritmos porque la base 5 > 1 y las x se cancelan: 28 < 7√x, luego x > 16.
Las cuatro raíces son x = −1, 3/2, 2 − √3 y 2 + √3. Se factoriza la cuártica con el teorema de la raíz racional y división sintética, y luego la fórmula general.
La suma de las raíces es −3. El dominio x ≥ −5 descarta x = −6, mientras que el propio factor radical aporta la raíz extra x = −5: las raíces son 2 y −5.
Al racionalizar, x = 2 + √3 e y = 2 − √3, así que x + y = 4 y xy = 1; con las identidades simétricas salen x² + y² = 14, x³ + y³ = 52 y 4x² + 7xy + 4y² = 63.
Una de cada color cuesta 6.00. Dos blancas y una amarilla valen 5; dos blancas y tres rojas, 10.50; tres amarillas y dos rojas, 11: se resuelve por sustitución.