Algebra
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Real algebra questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
dim(W₂ ∩ W₁⊥) ≥ dim W₂ − dim W₁ ≥ 1, así que ese vector existe. Se envía W₂ al dual de W₁ mediante x ↦ ⟨x, ·⟩: la imagen tiene dimensión a lo sumo dim W₁ y el teorema de la dimensión obliga al núcleo a ser no trivial.
No hay solución alguna. Al simplificar el lado derecho queda |x| = −5, y un valor absoluto es una distancia al cero, así que nunca puede ser igual a un número negativo.
La única solución es x = −5/2. Cuando un valor absoluto vale cero no hay separación en dos casos, porque cero es el único número cuya distancia al cero es cero.
Las soluciones son x = 0 y x = 10/3. Como |A| = 5 obliga a que A = 5 o A = −5, esta única ecuación con valor absoluto se convierte en dos ecuaciones lineales ordinarias.
Las dos soluciones son x = −2/3 y x = −2. Un valor absoluto igual a un número positivo genera dos casos, 3x+4 = 2 y 3x+4 = −2, y cada uno se resuelve en un solo paso.
Las soluciones son x = −1/4 y x = −5/4. Separa |4x + 3| = 2 en los dos casos 4x + 3 = 2 y 4x + 3 = −2, y resuelve cada ecuación lineal por separado.
Las soluciones son x = 0 y x = 10. Se separa la ecuación en 5 − x = 5 y 5 − x = −5; el coeficiente negativo de x es lo que hace que el segundo caso dé x = 10.
Las soluciones son x = 3.4 y x = −3.4. El signo menos dentro de las barras no cambia nada, porque un número y su opuesto están a la misma distancia del cero.
Las soluciones son x = 5 y x = 3/23. Saca las constantes fuera de las barras, multiplica en cruz para llegar a 8|2x − 3| = 7|x + 3| y eleva al cuadrado para obtener 23x² − 118x + 15 = 0.
Las soluciones son x = −1 y x = 2. Partir en x = 0 y x = 1 da tres casos; el caso intermedio se reduce a 1 = 3 y por tanto no tiene solución.
Hay cuatro soluciones: x = ±4 y x = ±√10. Un valor absoluto que envuelve una cuadrática se separa en x²−13 = 3 y x²−13 = −3, y cada rama aporta dos raíces.
La respuesta es −1 ≤ x ≤ 2. Un valor absoluto con «menor o igual» se convierte en una sola desigualdad doble cerrada, −3 ≤ 2x − 1 ≤ 3, que se resuelve sumando 1 y dividiendo entre 2.
La respuesta es −9 < x < 4. Un valor absoluto «menor que» se convierte en una sola desigualdad doble, −13 < 2x + 5 < 13, que se resuelve restando 5 y dividiendo entre 2.
La respuesta es w ≤ 40/7 o w ≥ 44/7. Divide primero entre 7; después, un valor absoluto «mayor o igual» se separa en dos semirrectas hacia afuera, no en un solo intervalo.
La solución es w ≤ 3 o w ≥ 9. Divide entre 7 para llegar a |w − 6| ≥ 3 y lee eso así: w está a 3 unidades o más de 6, en cualquiera de las dos direcciones.
La solución es a < −1 o a > 1/3. Con valores absolutos en los dos lados, elevar al cuadrado es reversible y transforma el problema en la desigualdad cuadrática 3a² + 2a − 1 > 0.
La solución es m < −9 o m > 9. Se aísla |3m|, se divide entre −2 invirtiendo el signo para llegar a |3m| > 27 y luego se separa la desigualdad hacia afuera en dos ramas.
La solución son todos los números reales. Tras dividir entre −2 la desigualdad queda |3m| > −24 y, como un valor absoluto nunca es negativo, siempre se cumple.
La respuesta es x ≤ (11 − √97)/4 o x ≥ 5, es decir, aproximadamente x ≤ 0.288 o x ≥ 5. Los puntos de corte 2, 3 y 4 dan cuatro casos, y solo los dos extremos aportan soluciones.
La solución es 4/3 ≤ x ≤ 2. Un lado derecho con variable hay que forzarlo primero a ser no negativo y después se resuelve la doble desigualdad −(x − 1) ≤ 2x − 3 ≤ x − 1.
La solución es x < −2, x = 1 o x > 2. El numerador nunca es negativo, así que el signo lo decide el denominador, y x = 1 hace que la fracción valga exactamente cero.
La solución de (|x − 2| − x)/(x² − 4) ≤ 0 es (−2, 1] ∪ (2, +∞). Se separa el valor absoluto en x = 2, se arma la tabla de signos y se ve por qué x = 1 entra y ±2 no.
Respuesta: √2, aproximadamente 1.414214. Sumar los términos semejantes da 2/√2, y al racionalizar multiplicando por √2/√2 el 2 se cancela y queda exactamente √2.
La suma es 7 veces la raíz quinta de 4. Como los dos términos ya comparten el mismo índice y el mismo radicando, solo hay que sumar sus coeficientes 2 y 5.
La suma vale 37√2. Simplifica √50 como 5√2 y √32 como 4√2, y suma después los coeficientes que resultan, 25 y 12.
El resultado es 7x² − 7x + 9 y su grado es 2. Distribuye primero el signo menos en todo el tercer polinomio y luego agrupa por separado los términos en x², los términos en x y las constantes.
La suma es −x³ + 8x² − 15x − 4 y su grado es 3. Suma los coeficientes de las potencias iguales; los términos cúbicos no se cancelan, así que el grado sigue siendo 3.
La suma es −4x² − 11x + 13. Mira cómo alinear los términos semejantes por grado, por qué el −11x pasa tal cual y cómo comprobar el resultado en x = 1.
(f + g)(x) = 6x − 4 y su dominio son todos los números reales. Se apilan las dos reglas, se suman los términos en x (5x + x = 6x) y las constantes (2 − 6 = −4), y luego se indica el dominio.
(f + g)(x) = 4x − 58, con dominio todos los números reales. Los dos términos x² son opuestos exactos y se cancelan, así que la suma de dos cuadráticas sale lineal.
La suma vale √10. Al elevar al cuadrado se obtiene 6 + 2√(9−5) = 10 y, como los dos radicales son positivos, la suma es la raíz positiva, no −√10.
La respuesta es 6x² + yz. Quitar los paréntesis es seguro porque los grupos se suman, no se restan, y los dos términos en z² se cancelan exactamente entre sí.
La suma es 2(x² − 8x + 32)/(x(x − 8)). Al llevar todo al denominador x(x − 8) queda x² + (x − 8)², que se desarrolla y factoriza como 2(x² − 8x + 32).
La suma es (x²+13x+10)/(2(x−1)(x+2)). Factoriza 2x−2 como 2(x−1) y x²+x−2 como (x+2)(x−1) para ver el mínimo común denominador, y luego amplía los dos numeradores hasta él.
Se habían vendido 108 boletos de adulto y 48 de niño, y los de adulto llegan a 128. Escribir las cantidades como 9k y 4k deja una sola incógnita, y 3(9k + 20) = 8(4k) da k = 12.
Boss tiene 25 3/5 años, es decir 25.6 años. Llama x a la edad del menor, escribe 8x + 8 = 3(x + 8), resuelve 5x = 16 y multiplica de vuelta para obtener la edad del mayor.
Respuesta: el hermano mayor tiene 128/5 = 25.6 años y el menor 16/5 = 3.2. Si llamamos x a la edad del menor, resulta 8x + 8 = 3(x + 8), de donde 5x = 16.
El hijo tiene 18 años y el padre 72. La ecuación 4x − 12 = 10(x − 12) da x = 18, y hace doce años las edades eran 6 y 60, una razón de exactamente 10.
El hermano mayor tiene 25 años y el menor 5. Plantear 5a + 5 = 3(a + 5) da 2a = 10; los dos hermanos cumplen los mismos 5 años, y eso es lo que hace bajar la razón.
Yo tengo 20 años y mi madre 60. Al restar 10 a las dos edades queda 3x − 10 = 5(x − 10), de donde x = 20; hace diez años las edades eran 10 y 50, una razón de 5.
Las edades son 88/3 y 50/3 años, es decir, unos 29.33 y 16.67. Las dos condiciones dan dos ecuaciones; la sustitución las reduce a 3D − 4 = 46.
El área es 140 m². Tomando el ancho como x, el largo es x + 4; resolver 2(2x + 4) = 48 da x = 10, así que los lados miden 10 m y 14 m.
El área es 160 m². Se llama x al ancho, el largo se escribe como x + 6, se resuelve 2(x + (x+6)) = 52 para obtener x = 10 y luego se multiplica 10 por 16.
De u8 = u1 + 7d resulta 7d = 26 − 1/3 = 77/3, así que d = 11/3. Al sustituir hacia atrás se obtiene u8 = 1/3 + 7(11/3) = 78/3 = 26, lo que confirma la fracción.
Como u4 = 10, la segunda ecuación da u6 = 16. Puesto que u6 − u4 = 2d, resulta 2d = 6 y d = 3, y con u1 = 1 se reconstruye toda la sucesión.
De u4 − u2 = 2d se obtiene d = 2 y u1 = 1. Entonces u15 = 1 + 14(2) = 29, así que el término decimoquinto es 29 y no el tentador 31.
La regla del término general u_n = u_1 + (n − 1)d con u_1 = 3 y d = 2 da u_5 = 3 + 4(2) = 11. Al listar 3, 5, 7, 9, 11 se confirma que el quinto término es 11.
El costo mensual es 30 + 0.05t + 0.10x dólares para t minutos de conversación y x mensajes enviados. Al evaluarlo en cinco patrones de uso da 40, 38.80, 41.25, 43.50 y 42.50 dólares.
La solución es x ≤ -9/2, es decir el intervalo (-infinito, -9/2]. Se separa la cadena en dos desigualdades, se cancelan los términos x^2 y se intersecan.
log 1576 / log 2.44 = logaritmo en base 2.44 de 1576 = 8.2541. La base común se cancela, y elevar 2.44 a 8.2541 devuelve 1575.99, lo que confirma el exponente.
Respuesta: solo las dos últimas son iguales. La expresión 1 se reduce a 0.015S − 0.955 y las expresiones 2 y 3 a 0.0138462S − 0.789231; coinciden únicamente en S = 431/3.
Hay 30 monedas de 5 unidades y 30 de 10 unidades. Escribir el segundo conteo como 60 − x convierte las dos condiciones en la única ecuación 5x + 10(60 − x) = 450.
Hay 30 monedas de 5 unidades y 50 monedas de 10 unidades. La única ecuación 5x + 10(80 − x) = 650 codifica a la vez la condición del número de monedas y la del valor.
La expresión es igual a (2x + 2)² = 4(x + 1)². Detecta el patrón A² + 2A + 1 con A = 2x + 1 en lugar de desarrollar, y después saca el 2 del paréntesis.
La respuesta es x, no 1x ni 0. Al sumar los coeficientes queda 4 + 2 − 5 = 1, y un coeficiente igual a 1 no se escribe delante de la variable.
La respuesta es −9xy². Los tres términos llevan la misma parte literal xy², así que solo se combinan los coeficientes: 6 − 3 − 12 da −9, y xy² viaja sin cambios.
La respuesta es x. Los tres términos comparten la misma variable, así que solo se suman los coeficientes: 9 − 14 + 6 = 1, y un coeficiente igual a 1 nunca se escribe.
La forma simplificada es 2x² + 7x − 7. Agrupa los términos por grado: 3x² − x² = 2x², luego 2x + 5x = 7x, y la constante −7 no tiene con qué emparejarse.
La forma simplificada es −x⁵ − 15x⁴ − 6x + 1. Solo los dos términos en x³ son semejantes y se cancelan, lo que elimina por completo el término de grado 3.
Respuesta: x = −12/5 = −2.4. Agrupa los tres términos en x en −5x y las tres constantes en −12, y luego divide para obtener x = −12/5, expresado como fracción.
−12xy + 9xy − 3xy = −6xy. Los tres términos llevan idéntica parte literal xy, así que solo se suman los coeficientes: −12 + 9 − 3 = −6, y xy se queda igual.
La respuesta es x ≈ 0.0011432627. Los tres términos son semejantes, así que los coeficientes suman 87,000,451.12 y una sola división termina el problema.
Si a < b entonces 3 − 2a > 3 − 2b, y al contrario. Restar 3 en los dos lados es inofensivo, pero dividir entre −2 invierte la desigualdad.
Si a < b entonces 4a − 3 < 4b − 3. Multiplicar por el 4 positivo y restar 3 conservan ambas la desigualdad, así que el sentido no cambia nunca.
a^3 + b^3 siempre es mayor o igual que a^2b + ab^2, con igualdad solo si a = b: la diferencia factoriza como (a + b)(a - b)^2, un producto no negativo.
Kelly se equivoca: los dos valores iniciales son −1. La función H tiene pendiente 1/2 y pasa por (8, 3), así que al retroceder hasta x = 0 la y baja 4 unidades y aterriza en −1, igual que G.
La respuesta es 3(x − 2/3)² + 2/3, con mínimo 2/3. El discriminante es −8, así que los ceros son el par complejo (2 ± i√2)/3 y no números reales.
La respuesta es (x − 1)² + 2, así que el valor mínimo es 2 y se alcanza en x = 1. El discriminante vale −8, y por eso esta cuadrática no factoriza sobre los números reales.
Respuesta: no hay soluciones reales; x = −0.19717 ± 0.13382i. Pasa el −0.2 al otro lado, obtén 4.3957x² + 1.7334x + 0.2496 = 0 y lee el discriminante negativo −1.38399.
(g∘f)(x) = 128x² − 456x + 403, (h∘f)(2) = 11 y (f∘h)(x) = 16x³ + 36x − 15. La función interior se sustituye allí donde aparezca la variable de la función exterior.
La solución es −3 < x ≤ −2, o sea (−3, −2]. Restar 4 en las tres partes de la inecuación compuesta aísla la x de una sola vez y sin invertir ningún signo.
La solución es 1/6 < x < 17/60. Multiplicar por 7, dividir entre 60 y restar 1 son todas operaciones positivas, así que los dos signos de desigualdad mantienen su sentido.
La respuesta es 17/60 < x < 2/5. Multiplica las tres partes por 7, divide entre 60 y luego resta 1: cada paso conserva el sentido porque los dos factores son positivos.
La solución es 8 < y ≤ 16. Suma 8 en las tres partes y divide después las tres entre 3; como 3 es positivo, ni los signos ni su carácter estricto o no estricto cambian.
La solución es x > 7/5. La variable aparece en las dos partes exteriores, así que hay que separar la cadena en dos desigualdades e intersecar sus conjuntos solución.
La respuesta es −11/60 < x < −1/15. Las dos cotas salen negativas porque 60/7 ya vale unos 8.57, así que 1 + x tiene que bajar por debajo de 1 para encajar.
No hay solución. La inecuación exige un número mayor que 8 y menor que 7 a la vez, y el álgebra lo confirma produciendo cotas invertidas.
La respuesta es −1/15 < x < 1/20. Es la ventana que abarca el cero, porque 60/7 vale unos 8.57, que ya está dentro del rango buscado en x = 0.
No hay solución. Una vez que 4018 − 2734 se simplifica a 1284, la cadena exige 3818 ≤ 499x − 20y < 1284 y 1284 ≤ 33x − 78y < −2534, las dos imposibles.
La respuesta es −1 ≤ x ≤ 3. Trabaja en las tres partes a la vez: suma 1 en todas para llegar a −3 ≤ 3x ≤ 9 y divide luego entre el 3 positivo, sin cambio de signo.
Respuesta: 15/2 < x ≤ 21/2, es decir (7.5, 10.5]. Multiplica las tres partes por 12 para llegar a 2 < 2x − 13 ≤ 8, suma 13 y luego divide entre 2; el extremo abierto y el cerrado se conservan.
A = x⁵(x − 1)⁵/(x² + 1)⁴. La regla de la potencia lleva cada coeficiente a un exponente, y el coeficiente negativo manda su factor al denominador.
Respuesta: 7 enteros (−4, −3, −2, −1, 2, 3, 4). Factoriza las dos partes, observa que el denominador abre hacia abajo y lee el diagrama de signos entre los puntos críticos −4, −1/5, 1 y 4.
Hay 15 clases de semejanza. Sobre ℂ la forma de Jordan es un invariante completo, así que el recuento es p(3)·p(4) = 3·5 = 15, una por cada par de particiones enteras de las dos multiplicidades.
Respuesta: x = −59/3, unos −19.667. Se elevan al cubo los dos miembros para llegar a 5 − 3x = 64; a diferencia de una raíz cuadrada, una raíz cúbica no impone condición de dominio ni genera soluciones extrañas.
La solución real es x = −33. Se eleva al cubo para quitar el exponente 1/3, se resuelve 2x + 2 = −64 y se ve por qué una raíz impar no crea soluciones extrañas.
Las tres raíces reales son x ≈ −7.4802e−8, 0.00106167 y 0.00814390. Escalar x por 10³ antes de nada convierte esos decimales mal condicionados en una cúbica bien portada.
Respuesta: x = 1 y x = (3 ± √21)/2, es decir, unos 3.7913 y −0.7913. El paso clave es ver que 214221 = 101² × 21, así que la raíz cuadrada se simplifica de forma exacta.
Una raíz real s ≈ −3.086409 y un par complejo −6.706796 ± 1.902385i. No existe raíz racional, así que se reduce a y³ − 3y/4 − 49/4 y se aplica Cardano.
Respuesta: x = 1.3210837, la única raíz real. El discriminante −42,120,000 es negativo, así que Cardano da una raíz real y dos complejas; no existe ninguna raíz racional.
Respuesta: x = −24.8617, −2.4502 y 2.2304. Vieta es la comprobación más rápida: las tres raíces deben sumar −92.3/3.68 = −25.0815 y multiplicarse hasta 500/3.68 = 135.87.
Las tres raíces reales son x ≈ 0.4797, 8.4956 y 12.0248. No hay ninguna raíz racional, así que se reduce la cúbica a y³ − 35y + 49 y se aplica la fórmula del coseno del casus irreducibilis.
El conjunto solución es (-inf, -2) U (1, 3). Se hallan los tres ceros, se parte la recta real y se lee el signo del producto en cada tramo con tabla de signos.
El conjunto solución es (−∞, −1) ∪ (−1, 2). Al sacar factor común x³ + 1 queda (x+1)²(x²−x+1)(x−2) < 0, y solo x − 2 puede ser negativo, con x = −1 excluido.
Respuesta: (−∞, −1) ∪ (2, 4). Tres raíces simples dividen la recta en cuatro intervalos cuyos signos se alternan, y una desigualdad estricta excluye las tres raíces.
El polinomio es f(x) = 5(x + 3)(x - 6)(x - 10) = 5x³ - 65x² + 60x + 900. Cada cero se convierte en un factor y el coeficiente principal fija la escala.
La única raíz real es x ≈ 0.00548128. Reconocer que 0.016875 = 3(0.005625) y que 9.4921875e−5 = 3(0.005625)² reduce la cúbica a un cubo perfecto desplazado.
Respuesta: x = −6. La cúbica se queda a un paso de ser (x+4)³, cuyo término constante es 64; el 8 de más la convierte en (x+4)³ = −8, así que x + 4 tiene que valer la raíz cúbica real −2.
Raíces: x = −1.228936, 1.348310 y 13.880626. Al faltar el término en x, la suma de los productos por pares es cero, y esa es la comprobación más afilada de cualquier respuesta numérica aquí.
Raíces: x = −0.012650903, 0.023902272 y 245.699748632. Se descarta x³ cerca de cero para obtener las dos raíces pequeñas y luego se usa la suma de raíces 245.711 para la grande.
Raíces: x = −0.014681475, 0.025933162 y 245.699748313. Descarta x³ cerca de cero para obtener las dos raíces pequeñas y usa después la suma de raíces 245.711 para la grande.
Raíces: x = −0.016747308, 0.027999354 y 245.699747954. Descarta x³ cerca de cero para obtener las dos raíces pequeñas y usa después la suma de raíces, 245.711, para la grande.
Raíces: x = −0.018742545, 0.029994971 y 245.699747574. Descarta x³ cerca de cero para obtener las dos raíces pequeñas y luego usa la suma de raíces 245.711 para la grande.
La única solución real es x = 2. La cúbica es (x − 1)³ − 1, así que la ecuación se convierte en (x − 1)³ = 1 y la raíz cúbica real da x − 1 = 1.
Raíces: x = −15.219737, 11.273122 y 62.946615. Ninguna raíz racional divisora de 10800 anula el polinomio, así que hay que encerrar cada cambio de signo y afinar con el método de Newton.
La única solución real es x = 2 + ρ ≈ 3.3247180, donde ρ es el número plástico. Factoriza el lado izquierdo como (x−1)(x−2)(x−3), sustituye y = x − 2 y resuelve y³ − y − 1 = 0.
La única raíz real es x ≈ −28.392868, con el par complejo −5.803566 ± 6.062907i. Al reducir la cúbica queda y³ − 400y/3 + 38000/27 y un discriminante positivo.
El ciclista tarda 1.5 horas, pedaleando a 20 km/h. Plantear 30/v − 30/(v + 40) = 1 y quitar denominadores lleva a v² + 40v − 1200 = 0, cuya única raíz positiva es 20.
La suma de las raíces es 10. Se resta el patrón lineal 4x - 3, se factoriza la diferencia como a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) y con Vieta la constante a se cancela.
La ecuación no tiene soluciones reales. El polinomio es exactamente (x⁴ − x³ + x² − x + 1)² + 1, y un cuadrado real nunca puede valer −1, así que el polinomio no baja nunca de 1.
La respuesta es a = (√5 − 1)c/4. El radical incómodo √(6 − 2√5) se desanida como √5 − 1, porque 6 − 2√5 es justamente el cuadrado perfecto de esa diferencia.
El radical anidado vale √6 − √5 ≈ 0.2134. Escribe 11 − √120 como 11 − 2√30 y halla m + n = 11 con mn = 30, lo que da el cuadrado perfecto (√6 − √5)².
La solución es la región no acotada de vértice (2,4), limitada por la izquierda por x = 2 y por arriba por y = 6 − x. Despejar y en cada desigualdad hace fácil sombrear la intersección.
El determinante es −16. Desarrolla por la primera fila: 9(32−40) − 2(112−144) + 2(140−144) = −72 + 64 − 8 = −16. Cambiar la fila central de 27,7,7 a 28,8,8 mueve el valor de −9 a −16.
El determinante es −9. Desarrolla por la primera fila: 9(28−35) − 2(108−126) + 2(135−126) = −63 + 36 + 18 = −9.
El determinante vale 9. Resta múltiplos de la tercera fila para dejar en la primera columna un único elemento 9, desarrolla por esa columna y evalúa un 3x3 que da 1.
El determinante es −46. Dos rondas de operaciones por filas reducen la primera columna a un único 1 en la esquina superior izquierda y dejan un determinante 3×3 de valor −46 por evaluar.
La respuesta es 8x. En lugar de desarrollar los dos cuadrados, se usa A² − B² = (A − B)(A + B) con A = 2x + 1 y B = 2x − 1, de modo que los términos cuadráticos nunca aparecen.
4(x + 3)(x − 3) = 4(x² − 9) = 4x² − 36. Los dos paréntesis son un par conjugado, así que a² − b² los colapsa en un solo paso en lugar de un desarrollo término a término.
La expresión se reduce a −16a(a²+2)(a²+8)/(a²−4)². Reconocer a³+8 y a³−8 convierte cada cuadrado en una sola fracción antes de restar.
La respuesta es (2x + 3m)(2x − m)/48. Cada término ya es un cuadrado perfecto, así que a² − b² se aplica directamente con a = x/3 y b = (2x/3 − m)/4, es decir, x/6 − m/4.
La respuesta es 8xy. Factorizar como diferencia de cuadrados da los factores 4y y 2x, así que todos los términos al cuadrado se cancelan antes de desarrollar nada.
Cada bloque de 20 términos es un cubo perfecto, así que la diferencia es A³ − B³ con A − B = (c − e)(y − b). Reconocer el cubo reduce 40 términos a tres factores.
Respuesta: 0. Cada fracción se reduce a −(3a + 2), porque los denominadores invertidos aportan un factor de −1, así que la diferencia se cancela idénticamente.
El cociente incremental es 10x + 5h − 3. Al desarrollar f(x+h) se cancela todo término que no lleve h, así que la h del denominador se divide limpiamente.
El resultado es −21/((3x+3h−1)(3x−1)). Poner las dos fracciones sobre un común denominador hace que el numerador se reduzca a −21h, así que la h se cancela.
El cociente incremental se simplifica a 2x + h - 5. Se desarrolla f(x + h), se resta f(x), se saca h de factor común en el numerador y se cancela, paso a paso.
El cociente se simplifica a −2x − h + 7, así que A = −2, B = −1 y C = 7. Todos los términos sin h se cancelan, y por eso se puede dividir entre la h del denominador.
El resultado es 5/(√(5x+5h+1) + √(5x+1)). Multiplicar por el conjugado convierte la diferencia de raíces en 5h, lo que permite cancelar la h del denominador.
OP = 1. Sustituir t = m² + n² convierte la condición en t² + 4t − 5 = 0, cuyas raíces son 1 y −5; solo sobrevive t = 1, porque una suma de cuadrados no puede ser negativa.
Respuesta: 2m − 7 + 31/(m + 5). Reordena en 2m² + 3m − 4, aplica división sintética con la raíz −5 y comprueba que el numerador en m = −5 vale justo el resto 31.
Respuesta: x²−2 con resto 0. La división larga se cierra en dos pasos, y la agrupación lo confirma, ya que 2x³+x²−4x−2 es exactamente x²(2x+1)−2(2x+1).
El cociente es x − 1/2 y el resto es −1/2. Hay que insertar el término 0x que falta y luego dividir los términos principales dos veces; el divisor no mónico 2x obliga a que el cociente tenga coeficientes fraccionarios.
El cociente es x − 1/2 y el resto es 5/2. Dos rondas de dividir los términos principales lo terminan, y la identidad de la división confirma las partes fraccionarias.
Respuesta: 2x + 1, para x distinto de -3. Descompón el término central usando 6 y 1, factoriza por agrupación en (2x+1)(x+3) y cancela el factor binomial común.
Resultado: 3p + 7 + 5/(p − 1). Primero se reordena en potencias decrecientes y luego se divide sintéticamente por la raíz 1; el resto 5 coincide con el valor del numerador en p = 1.
El cociente es 3x − 3 y el resto es −2. Inserta el término 0x que falta antes de dividir y luego confirma con el teorema del resto evaluando en x = −1.
El cociente es 3x³ + 6x² + 8x + 24 con resto 47. Verás por qué el término x³ ausente debe escribirse como 0x³ antes de dividir, y cómo comprobarlo con f(2) = 47.
La respuesta es 1/(2a−b). Factoriza 4a²−b² como (2a−b)(2a+b); el (2a+b) se cancela con (b+2a) y queda (2a−b)/(b−2a)², que se simplifica a 1/(2a−b).
Resultado: 4p + 3 + 10/(p − 2). Se reordena a 4p² − 5p + 4, se divide sintéticamente por la raíz 2 y se confirma el resto evaluando el numerador en p = 2.
El resultado es −(a + 3)/(2a). Factoriza 9 − a² como −(a − 3)(a + 3) para dejar el signo a la vista, después invierte el divisor y cancela (a − 3) y (a − 5). El signo menos sobrevive hasta la respuesta final.
El cociente es 2x³ + x² − 4x − 2 con resto 0, así que x = 1 es una raíz. La última fila de la división sintética da directamente los coeficientes.
Las cuatro cuadráticas se factorizan: (a−6)(a+3), (2a+1)(a−6), (a+3)(a−2) y (2a+1)(a−1). Al invertir el divisor se cancelan tres pares y solo sobrevive (a−1)/(a−2).
El cociente es 5xy + 4x − 3y. Separa la fracción en tres, divide los coeficientes y resta los exponentes; al multiplicar hacia atrás se recupera el numerador original.
Resultado: f² − 4f + 16, sin resto. Se escriben como ceros los términos ausentes en f² y f, se aplica división sintética con −4 y se reconoce la factorización de la suma de cubos.
Respuesta: j² + 4j + 16, con resto 0. Usa los coeficientes 1, 0, 0, −64 con la raíz +4; es la identidad de la diferencia de cubos, así que todos los signos del cociente son positivos.
El resultado es x² − x + 1 − 1/(x + 1). La división larga de x³ + 0x² + 0x + 0 da cociente x² − x + 1 y resto −1, lo que coincide con el teorema del resto.
El cociente es x² − 2x + 3 con resto 0, así que x − 1 sí es factor. Sigue las tres rondas de dividir, multiplicar y restar, más la comprobación con el teorema del factor.
El cociente es x + 2 con resto 0. Dividir entre una cuadrática da un cociente de grado 1 y solo toma dos rondas; la factorización lo verifica de forma independiente.
Resultado: x + 5, con resto 0. La división larga se cancela exactamente, o bien se factoriza por agrupación: x⁴ + 5x³ − 3x − 15 = (x + 5)(x³ − 3).
El cociente es x/3 − 5 y el resto es 50. Dividir x² entre 3x da el término principal fraccionario x/3, y después el segundo paso cierra la división por completo.
El cociente es x³ + 2x² + 17x + 20 con resto −80x − 148. Reordena ambos polinomios por grado, inserta ceros de relleno y ejecuta cuatro vueltas de dividir, multiplicar y restar.
El cociente es (y − 9)(y² + 9)/(y − 5). Multiplica por el recíproco, factoriza la diferencia de cuadrados y el trinomio, y después cancela el (y + 9) que comparten.
Respuesta: A = 5. Dividir 2x³ − x² + 2x + 5 entre x + 1 da el cociente 2x² − 3x + 5, así que la tercera entrada del cociente (la constante), rotulada A, vale 5.
El dominio es el intervalo abierto de −2 a infinito. El radicando debe ser no negativo y el denominador distinto de cero, y juntas esas dos condiciones obligan a que x + 2 sea estrictamente mayor que 0.
El dominio es (−∞, 5) ∪ (5, 7) ∪ (7, ∞), o sea todos los reales salvo 5 y 7. Factorizar el denominador como (x − 5)(x − 7) muestra exactamente qué dos valores lo anulan.
El dominio excluye x = ±1 y ±2, lo que deja cinco intervalos abiertos. El denominador de cuarto grado se factoriza con u = x² en (x²−1)(x²−4).
El dominio es (−∞, −12) ∪ (−12, 15) ∪ (15, ∞). Cada denominador aporta un valor excluido, y eso parte la recta real en tres intervalos abiertos.
El dominio de f(x) = 1/(8/(x − 5) − 2) es (−∞, 5) ∪ (5, 9) ∪ (9, ∞). Una fracción compleja esconde dos restricciones: el denominador interno y el externo.
El dominio excluye −3, −1 y 1. Factorizar por agrupación convierte la cúbica en (x + 3)(x − 1)(x + 1), de modo que la recta real queda partida en cuatro intervalos abiertos.
El dominio es (−∞, ∞). Tanto f(x) = 2 − x² como g(x) = x² + 4x − 60 son polinomios definidos para todo número real, así que su diferencia también lo está.
El dominio es [4, ∞). Cada radicando debe ser no negativo, lo que da x ≥ 4 y x ≥ −15, y la intersección conserva solo la condición más estricta.
El dominio es [−10, ∞). Una raíz cuadrada necesita un radicando no negativo, así que x + 10 ≥ 0 da x ≥ −10, y el −10 sí se incluye porque √0 = 0.
El dominio es (−∞, ∞). Un polinomio no tiene denominador, ni raíz de índice par, ni logaritmo, así que toda entrada real es válida; el discriminante solo limita el recorrido.
El dominio es [3, ∞). Una raíz cuadrada necesita radicando no negativo, así que 4x − 12 ≥ 0 da x ≥ 3, y el extremo se incluye porque √0 = 0 sí está definido.
El dominio es (−∞,−6) ∪ (−6,6) ∪ (6,∞). Una raíz cúbica está definida para todo número real, así que solo se excluyen los ceros del radicando, donde el denominador se anula.
La solución es (−1, 0) ∪ (1, 2). Separa la desigualdad doble en dos inecuaciones cuadráticas, resuelve cada una con una tabla de signos y luego intersecta: el lado estricto inferior abre un hueco en [0, 1].
a = b es la conclusión correcta. Al combinar b² = 4ac con 2b = a + 4c se obtiene (a − 4c)² = 0, así que a = 4c, y al sustituir de vuelta resulta también b = 4c.
La única raíz es x = −0.1. Dos cuadrados iguales obligan a que 5x + 7 = ±(5x − 6); el caso con más da el imposible 7 = −6, y el caso con menos da 10x = −1.
La recta es y = x/3 − 25/3. Los dos negativos de la pendiente dan el 1/3 positivo, y la intersección fraccionaria conviene dejarla exacta en vez de redondearla.
La recta es y = 2x + 13. Al restar una coordenada x negativa el avance horizontal es 3, y la pendiente empinada 2 empuja la intersección muy por encima de los dos puntos dados.
Todo número real es solución. Como 1 − x y x − 1 son opuestos, sus cuadrados son iguales, así que los dos lados son literalmente la misma expresión.
La solución es x = 11. Al desarrollar los dos lados los términos en x² resultan iguales (ambos x²/2), así que se cancelan y queda una ecuación lineal en x.
La solución es x = 44. El término x²/12 aparece en los dos lados al desarrollar (x + 3)², así que se cancela y solo queda una ecuación lineal con doceavos y veinteavos.
El valor es 514. Simplifica dentro del paréntesis para obtener 4, elévalo al cubo para llegar a 64, multiplica por 8 hasta 512 y solo entonces suma el 2 que está afuera.
El valor es 13/2. Sumar primero los dos términos cúbicos da 20x³ + 6x + 1, así que solo hay que calcular una potencia de 1/2.
El valor es 18. La diferencia de cuadrados convierte los dos primeros términos en (4x + 2)(4) = 16x + 8, así que toda la expresión es 10x + 8, que en x = 1 vale 18.
El valor es 62. Desarrollar primero reduce la expresión a 20x + 61, así que nunca hace falta elevar al cuadrado la fracción incómoda x = 1/20.
Al agrupar 8x³ y 12x³ queda 20x³ + 6x + 1, que en x = 1/2 vale 5/2 + 3 + 1 = 13/2. La expresión parecida 8x³ + 12x² + 6x + 1 = (2x + 1)³ daría 8 en su lugar.
El valor es 400. Tanto 9x² como 4y² son cuadrados, y 12xy es exactamente el doble del producto de sus raíces, así que la expresión se reduce a (3x − 2y)² = 20².
El valor es 45/29. Toma x = 2k y y = 3k: todos los términos son de grado 2, así que k² se cancela y quedan 45k² arriba y 29k² abajo.
El valor es aproximadamente −65.63. Hay que conservar ln(90.1) = 4.500920 con seis decimales: usar un valor tosco como 4.5017 desplaza el resultado a −65.65, un error de unos 0.02.
Respuesta: f(4) = 9. Primero revisa qué condición cumple x = 4: está en 3 ≤ x ≤ 10, así que aplica la regla del medio, x² − 7, que da 16 − 7 = 9.
g(−1) = −6, g(7) = 38 y g(0) = −4, mientras que g(−2) no está definida. La primera rama exige −2 < x, una desigualdad estricta que excluye el propio extremo −2.
El valor es 0. Sustituir m = 3 y n = 2 da 3 − 18/6 = 3 − 3, y cancelar primero la n muestra que la expresión es en realidad m − m²/3, que vale cero en m = 3.
Resultado: 50. Se desarrolla la notación sigma como 3 + 8 + 15 + 24, o se usan las fórmulas cerradas de la suma de cuadrados menos el número de términos; ambos caminos dan 50.
El valor es 44. Sustituye primero, resuelve el paréntesis y el exponente antes de multiplicar, y solo entonces resta: 64 − 5(4) = 64 − 20 = 44.
El valor es 10. Sustituir x = 7 da 49 − 42 + 3: eleva al cuadrado antes de multiplicar, mantén 6x como una sola resta y trabaja de izquierda a derecha al final.
El valor es 25. La expresión es el cuadrado perfecto (x − 4y)², así que la relación dada se puede sustituir entera, sin necesidad de hallar x e y por separado.
La respuesta es y = 4. La sustitución es todo el método: reemplaza x por su valor en la segunda ecuación, lo que da 2 por 2, que es 4 y no 2 más 2.
El valor es 29 + (142 − √3)i. Elevar 3 − 2i al cubo da −9 − 46i, y el multiplicador −3 lo convierte en 27 + 138i, que domina tanto la parte real como la imaginaria.
Basta tomar B = QD⁻P. Usa la forma normal de rango PAQ = D, donde D lleva el bloque identidad de orden r; con D⁻ el bloque identidad de n×m se obtiene ABA = A para toda matriz A.
La respuesta es 7x² − 21x + 21. Desarrolla el producto con la doble distributiva y el cuadrado con la regla de (a − b)², y luego suma los dos resultados término a término.
El resultado es x⁶ + 2x⁵ + 3x⁴ + 3x³ + 3x² + 2x + 1. Al elevar al cuadrado sale el patrón palindrómico 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, y al restar x³ el 4 del centro baja a 3.
El producto es 40x⁶ − 68x⁴ − 58x³ − 24x² − 91x − 72. Distribuye cada uno de los tres términos de la izquierda sobre el trinomio y luego agrupa los nueve resultados por grado.
El producto se simplifica a 4x² − 6x + 1. Agrupar (2x − 1) como un bloque y √(2x) como el otro convierte el producto en (2x − 1)² − 2x.
(4x² − 3)² se desarrolla como 16x⁴ − 24x² + 9. Usa el patrón (a − b)² = a² − 2ab + b² con a = 4x² y b = 3, en lugar de multiplicar los términos par por par.
El desarrollo es 5x³ + 5x² − 55x − 15. Multiplica primero los dos paréntesis para obtener x³ + x² − 11x − 3 y después distribuye el 5, el paso que olvidan las opciones distractoras habituales.
(515 − 0.27x) * 98² = 4946060 − 2593.08x. Eleva 98 al cuadrado para obtener 9604 y luego distribuye: 515 * 9604 = 4946060 y 0.27 * 9604 = 2593.08 para el término en x.
El producto es 45x⁴ + 54x³ − 40x² − 48x. Los dos términos de la izquierda multiplican a los dos de la derecha y, como los cuatro grados son distintos, nada se combina.
El desarrollo es 5x²y³ − 10xy² − 25y⁶ − 10y⁵ + 25y⁴ + 30y³ − 25y². En los términos sin x solo cambian los exponentes de y, y cada uno sube en 2.
El producto es 7x³ + 35x² − 21x − 49. Distribuye 7x y después 7 sobre el trinomio, y luego reúne los dos términos en x² y los dos términos en x.
El producto es 35x⁴ + 7x³ − 39x² + 34x − 10. Distribuye cada uno de los tres términos de la izquierda sobre el trinomio y después agrupa las potencias iguales de x.
(98 − 0.18x) * 270² = 7144200 − 13122x. Elevar 270 al cuadrado da 72900, y luego 98 * 72900 = 7144200 y 0.18 * 72900 = 13122, un coeficiente entero para x.
El desarrollo es −48x⁴y − 8x³y³ − 48x²y² + 32x²y − 40xy⁴ − 56xy² + 64xy. Multiplica 8xy por cada uno de los siete términos, sumando los exponentes de x y los de y por separado.
El numerador se desarrolla como a1x² − 2a1xy + (a1+a2)y² + b1x + (b2−b1)y. La forma anidada es de tipo Horner, así que desplegarla paréntesis por paréntesis es el camino seguro.
La cúbica es −0.013122x³ + 50.058x² − 57477.78x + 18572960. Multiplica primero dos binomios y después distribuye el tercero, siguiendo con cuidado cada coeficiente decimal.
El resultado es −2 − 3√2. El producto de √2 por √2 se reduce a 2, y los dos términos radicales restantes se combinan en un único −3√2.
El resultado es 2√6 − √42. Distribuye el radical y luego junta las dos raíces en una sola: √6 por √7 es √42, que no tiene ningún factor cuadrado.
La respuesta es m² − 4m + 4. El término del medio es el doble del producto de m y 2, y es negativo; el último término es positivo porque un cuadrado nunca es negativo.
El polinomio en forma estándar es 20x³ − 6x − 42. Se distribuye cada producto, se cuida el doble negativo en −6 por −3x³ y luego se agrupan los dos términos cúbicos.
La forma estándar es x²/3 − 4x/3 − 5/3. Eleva primero el paréntesis al cuadrado, distribuye el 1/3 y después combina 4/3 con −3 escribiendo 3 como 9/3, lo que da −5/3.
La respuesta es x²/3 − 4x/3 − 5/3. Multiplica primero los paréntesis para obtener x² − 4x − 5 y después distribuye el 1/3 sobre los tres términos, no solo sobre el primero.
La respuesta es pq − p − q + 2. El producto de los binomios da pq − p − q + 1, y el 1 extra de fuera del paréntesis eleva la constante a 2 en lugar de cancelarla.
Se usa (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca): los cuadrados dan 2 + 3 + 5 = 10 y los tres términos cruzados dan 2√6 + 2√10 + 2√15.
La respuesta es x⁴ − 8x^(5/2) + 24x − 32/√x + 16/x². El exponente fraccionario hace que cada término baje 3/2 en lugar de 1, y ahí está el desliz fácil.
El resultado es −8x³ − 48x² − 104x − 352, o −8(x³ + 6x² + 13x + 44). Los términos de cuarto grado se cancelan porque ambos binomios están elevados a la misma potencia par.
El producto es x² − x − 6. Los términos exterior e interior, −3x y +2x, se combinan en −x, y las constantes multiplican a −6 porque los signos son distintos.
El producto es x² + 7x + 10. FOIL da x², 5x, 2x y 10, y los dos términos del medio suman 7x porque 2 y 5 suman 7 y su producto es 10.
El producto es x⁴ + 4x³ − 12x² − 32x + 64. Ambos factores son cuadrados perfectos, así que el producto se reduce a (x² + 2x − 8)² y basta con elevar al cuadrado una sola vez.
Respuesta: x = 0 y x = 1. Escribe 9 como 3 al cuadrado, sube la fracción al numerador y después la sustitución t = 3^(x−1) la convierte en la cuadrática 3t² − 4t + 1 = 0.
La solución es −2 < x ≤ 6. Sustituye t = 2^x, junta los dos miembros sobre un único denominador, lee la tabla de signos y convierte las cotas de t de vuelta a x.
La solución es ((3−√17)/2, 0) unión ((3+√17)/2, infinito). Iguala las bases, invierte la desigualdad porque 2/5 < 1 y después construye la tabla de signos de (x²−3x−2)/x.
La solución es 2 ≤ x < 4. Se factoriza el numerador por agrupación como (2^x − 2)(5^x − 25), se factoriza el denominador cuadrático y se lee una tabla de signos de cuatro regiones.
La solución es 0 < x ≤ log7(2) o log2(7) ≤ x < 4. Agrupa 14^x = 2^x por 7^x para llegar a (7^x − 2)(2^x − 7), factoriza −x² + 4x y lee la tabla de signos.
La solución es x = 0 o 1 < x < log₂3. Sustituir t = 2^x colapsa las tres fracciones en 2(t-1)²/((t-2)(t-3)): un cuadrado perfecto sobre una cuadrática.
Al desarrollar queda 12x + 12 = 7y − 7, así que x = (7y − 19)/12. Sustituyendo x = 2 se llega a 36 = 7y − 7 y por tanto y = 43/7.
El resultado es (1/16)(x³ + 8)². La sustitución u = x³ la convierte en una cuadrática que es un cuadrado perfecto, y x³ + 8 se descompone además como (x + 2)(x² − 2x + 4).
La factorización es (2x + 1)(5x − 4). Como 10 × (−4) = −40 y 5 + (−8) = −3, parte −3x en 5x − 8x y agrupa para extraer el binomio común 2x + 1.
La factorización es (5x − 4)(25x² + 20x + 16). Escribe los dos términos como (5x)³ y 4³, y luego aplica la identidad a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
La respuesta es 6(2x + 3). El m.c.d. de 12 y 18 es 6, no 2 ni 3, y después de dividir los dos términos entre 6 al paréntesis 2x + 3 no le queda ningún factor común.
El máximo común divisor es 4 y queda 3x² − 44x + 120, cuyo discriminante 496 no es un cuadrado perfecto, así que las raíces son (22 ± 2√31)/3 y no 6 y 20/3.
18abc² − 12a²b²c = 6abc(3c − 2ab). El máximo común divisor combina m.c.d.(18, 12) = 6 con la menor potencia de cada variable compartida, es decir a, b y c.
Respuesta: (3x − 7)(7x² − 6). La búsqueda de raíces racionales se le escapa porque la única raíz racional es 7/3; agrupar los términos de dos en dos encuentra la factorización de inmediato.
La respuesta es (x − 2)(2x + 1)(x + 1). Aquí la agrupación falla, así que el teorema de la raíz racional encuentra x = 2 y la división sintética deja 2x² + 3x + 1.
La respuesta es x(2 − 9y). Solo la x es común a los dos términos, porque 2 y 9 no tienen ningún factor común y la variable y aparece únicamente en el segundo término.
La factorización es 2(x − 6)(x + 1). Todos los coeficientes son pares, así que sacar el 2 deja la mónica x² − 5x − 6, que factoriza con el par −6 y 1.
La factorización es (x − 2)(2x + 1). Se multiplica 2 por −2 para obtener −4, se descompone −3x como −4x + x y luego se agrupan los cuatro términos para extraer el binomio común.
La factorización es (2x + 5)(x − 4). El producto AC es −40, y la pareja 5 y −8 suma −3, con lo que el término central queda partido y listo para agrupar.
Respuesta: no sobre los enteros, pero sí sobre los reales: 2x² − 4x + 1 = (√2(x − 1) − 1)(√2(x − 1) + 1). El discriminante 8 es positivo, pero no es un cuadrado perfecto.
La factorización es (2x − 1)(x − 3y). Agrupar los dos primeros términos como x(2x − 1) y los dos últimos como −3y(2x − 1) deja a la vista un paréntesis común que se puede extraer.
La respuesta es 2x(x + 2). El máximo común divisor reúne la parte numérica 2 y la parte variable x, así que las dos salen juntas y detrás queda x + 2.
La factorización es 8x(4xy² − 3). El m.c.d. numérico de 32 y 24 es 8, y solo se comparte una potencia de x, ya que el segundo término no tiene ninguna y.
La factorización es (x + 1)(x + 2)(3x − 2). Probar x = −1 da cero, y el cociente cuadrático 3x² + 4x − 4 se parte después con el método AC usando 6 y −2.
La factorización es (3x-5y+1)(x-3y+4). Factoriza la parte cuadrática como (3x-5y)(x-3y) y luego ajusta las dos constantes para que los coeficientes de x e y salgan 13 y -23.
Se factoriza como (3x² + 12x + 7)(x² + 4x + 9), lo que da las raíces reales (−6 ± √15)/3 y el par complejo −2 ± i√5. Desarrolla siempre de vuelta la factorización que hayas supuesto.
La respuesta es −B(2A − B)². Después de sacar la B, el paréntesis es el opuesto de un cuadrado perfecto, así que hay que sacar también un signo menos.
La factorización es 4(m − (1 + √6)/2)(m − (1 − √6)/2). El producto AC igual a −20 no tiene ninguna pareja que sume −4, así que las raíces salen de la fórmula general.
La respuesta es 2mn(2m − 4n − 1). El último término es el propio factor común, así que deja un −1 dentro del paréntesis en lugar de desaparecer.
La respuesta es (2x - 3)(2x + 3). Los dos términos son cuadrados perfectos, porque 4x² es (2x)² y 9 es 3², así que las raíces de 4x² - 9 = 0 son x = 3/2 y -3/2.
Se factoriza como (2x+y−3)(2x+y+1). Los tres primeros términos forman (2x+y)², y los dos siguientes son −2(2x+y), así que el conjunto entero es una cuadrática en u = 2x+y.
La respuesta es y(2x + 3)². Saca primero la y común y lo que queda es un trinomio cuadrado perfecto, porque 12x es igual a 2 por 2x por 3.
5x⁴ − 80 se factoriza como 5(x − 2)(x + 2)(x² + 4). Se extrae el 5, se aplica la diferencia de cuadrados dos veces y se detiene el proceso cuando queda la suma de cuadrados x² + 4, que es irreducible.
La factorización es (3x − 2a + 3)(2x − a − 4). Factoriza 6x² − 7ax + 2a² como (3x − 2a)(2x − a) y después elige constantes p y q con pq = −12 que además generen los términos −6x y +5a.
La forma factorizada es 3(x − y)²(x + y). Colapsa el segundo término a 3(y − x)³, usa (y − x)³ = −(x − y)³ para alinear los dos términos y luego saca 3(x − y)².
La factorización es 3(5a³ − 7b⁸)(5a³ + 7b⁸). Saca primero el factor común 3 y entonces 25a⁶ y 49b¹⁶ pasan a ser los cuadrados perfectos (5a³)² y (7b⁸)², con lo que ya se aplica la diferencia de cuadrados.
7x² − 7x − 140 factoriza como 7(x − 5)(x + 4). Saca primero el factor común 7 y después descompón el trinomio restante x² − x − 20 en dos factores binomiales.
81x² − 121y² se factoriza como (9x − 11y)(9x + 11y). Se reescriben los dos términos como (9x)² y (11y)², y luego se aplica directamente la identidad a² − b² = (a − b)(a + b).
La factorización completa es 9x(x − 1)(x + 1). El máximo factor común es 9x, no solo 9, y lo que queda, x² − 1, es una diferencia de cuadrados.
La factorización es (3x + 1)². Los dos términos de los extremos son cuadrados, y el término central 6x es exactamente el doble del producto de 3x por 1, lo que confirma el patrón.
La expresión se reduce a (a²+ab+b²)(x²+xy+y²). Al desarrollar A², AB y B² y agrupar los términos en x², xy y y² aparece tres veces el mismo factor a²+ab+b².
La suma cíclica factoriza como −(a − b)(b − c)(c − a)[3(a² + b² + c²) + 5(ab + bc + ca)], un resultado mucho más nítido que la forma de grado 5 completamente desarrollada.
La respuesta es (a − b)(a + x)^m(b + x)^(n−1). Extrae la potencia más baja de cada base, resta dentro del paréntesis y los términos en x se cancelan dejando a − b.
La respuesta es (a² - 2ab + 2b²)(a² + 2ab + 2b²). Sumar y restar 4a²b² crea un cuadrado perfecto, lo que convierte una suma en una diferencia de cuadrados.
Es igual a (a⁵ − 1)/(a − 1) y es irreducible sobre los racionales, pero no sobre los reales, donde se parte en dos cuadráticas con coeficientes ligados a la razón dorada.
La forma factorizada es (1/12)x²y²(6x² + 4xy + 3y²). El máximo común divisor fraccionario es 1 sobre el m.c.m. de 2, 3 y 4, lo que elimina todos los denominadores de una sola vez.
La respuesta es (a²+ab−1)(ab+b²−1). Desarrolla primero y luego observa que ab+b²−1 divide al resultado, lo que da el par simétrico (a(a+b)−1)(b(a+b)−1) que se muestra aquí.
La factorización es (x² + 6x - 6)(x² - 6). Se emparejan los paréntesis para que ambos productos compartan la constante -6 y luego se sustituye y = x² + x - 6 para obtener una cuadrática sencilla en y.
La factorización es (y′ − 2x² − x)(y′ − 2x² + x). Agrupar los tres primeros términos en (y′ − 2x²)² convierte la expresión en una diferencia de dos cuadrados.
Se factoriza como 2(4x² − 3x + 3)(x² + 3), así que las raíces son (3 ± i√39)/8 y ± i√3. Ambas cuadráticas tienen discriminante negativo, por lo que no hay ninguna solución real.
La factorización completa es (x+2)(3x²−5)(x²+x+1), con raíces reales x = −2 y x = ±√15/3 ≈ ±1.290994. Se halla la raíz x = −2, se divide sintéticamente y luego se separa la cuártica 3x⁴+3x³−2x²−5x−5 en dos factores cuadráticos.
El resultado es (a² + b²)(a⁴ − a²b² + b⁴). Se reescribe a⁶ como (a²)³ para poder aplicar la fórmula de la suma de cubos, aunque el exponente 6 sea par.
La factorización es (a − 2x + 3)(a + 2x − 3). Al agrupar los tres términos en x aparece un cuadrado perfecto, y toda la expresión se convierte en una diferencia de cuadrados.
La factorización es (a + 2)². La constante 4 es 2 al cuadrado y el término central 4a es igual a 2 por a por 2, así que el patrón del cuadrado de una suma se aplica exactamente.
La factorización es (a + bi)(a − bi). Una suma de cuadrados no factoriza sobre los reales, pero sobre C sí, porque los términos cruzados se cancelan e i al cuadrado vale −1.
Respuesta: (x−1)²(x²−3x+1). Al desarrollar aparece la cuártica palindrómica x⁴−5x³+8x²−5x+1, que se separa como (x²+ax+1)(x²+bx+1) con a = −2 y b = −3.
La factorización es (x − 1)(x − 2) y las raíces son x = 1 y x = 2. Un término constante positivo con un término central negativo obliga a que ambos factores sean negativos.
Las raíces son x = 1 y x = 3. Se buscan dos números cuyo producto sea +3 y cuya suma sea −4, lo que da (x − 1)(x − 3); después se aplica la propiedad del producto nulo a cada factor.
La factorización es (x + y)(4x²y² + a² + 12). Al emparejar los seis términos de tres en tres aparece el binomio x + y escondido en cada pareja, que después se saca como factor común.
La factorización es (f - 4g + 3h)(f + 4g - 3h). Los tres últimos términos son exactamente -(4g - 3h)², así que la expresión es la diferencia de cuadrados f² - (4g - 3h)².
La factorización completa es −x²y(x − 1)(x − 5). Primero se saca el factor común x²y y luego se extrae el signo menos de −x² + 6x − 5 antes de separarlo.
La factorización completa es 3x⁶(2x³ − 1)(2x³ + 1). Al sacar 3x⁶ queda 4x⁶ − 1, que todavía es una diferencia de cuadrados y hay que separarla otra vez.
La respuesta es (3c/4 − 1)(3c/4 + 1), equivalente a (1/16)(3c − 4)(3c + 4). La fracción 9/16 es un cuadrado perfecto porque 9 y 16 lo son, así que su raíz cuadrada es la fracción 3/4.
La factorización es (1/7 − c⁵n³)(1/7 + c⁵n³). Los dos términos son cuadrados, porque 1/49 es (1/7)² y c¹⁰n⁶ es (c⁵n³)² al reducir los exponentes a la mitad.
27x³+y³=(3x+y)(9x²−3xy+y²), x³−8y³=(x−2y)(x²+2xy+4y²) y x³+512=(x+8)(x²−8x+64). Aprende a detectar los dos cubos perfectos y a escribir los factores sin equivocarte de signo.
La respuesta es (x - 1)(x - 2)(x + 3). Se prueban los divisores de 6 para hallar la raíz x = 1, se divide entre x - 1 y luego se factoriza la cuadrática restante x² + x - 6.
La factorización es (x − 1)(x + 2)². Probar x = 1 da cero, la división sintética deja x² + 4x + 4, y ese cociente es un cuadrado perfecto.
La respuesta es (x + 3)(x − 2)(x + 2). Agrupar en parejas deja a la vista el factor común x + 3, y el x² − 4 que queda es una diferencia de cuadrados.
La respuesta es (x + 1)(x² + 2x + 5), con raíces x = −1 y x = −1 ± 2i. Entre los candidatos racionales solo funciona x = −1, y el factor cuadrático tiene discriminante −16, así que ahí se detiene.
Sobre los racionales queda (x − 1)(x² + 5x + 5). El factor cuadrático tiene discriminante 5, así que solo sobre los reales se separa más, con las raíces (−5 ± √5)/2.
La respuesta es (x + 1)(x − 2)(x + 2). Al agrupar en parejas aparece el factor común x + 1, y lo que queda, x² − 4, es una diferencia de cuadrados.
La factorización completa es (x + 1)²(x - 1). La agrupación da (x + 1)(x² - 1), y ese segundo factor es a su vez una diferencia de cuadrados que hay que separar.
Se factoriza como (x + 1)(x² + x + 1)(x² − x + 1). La suma es la serie geométrica (x⁶ − 1)/(x − 1), así que factorizar x⁶ − 1 dos veces y cancelar x − 1 termina el trabajo.
La respuesta es (x + y)(x⁴ − x³y + x²y² − xy³ + y⁴). Una suma de potencias solo se factoriza cuando el exponente es impar, y los signos del factor largo se alternan.
La cuártica es (x² + x + 1)². Sus coeficientes capicúas 1, 2, 3, 2, 1 son el cuadrado de 1, 1, 1, y no tiene raíces reales porque x²+x+1 > 0 en todas partes.
La factorización es (x² + xy + y²)². Los coeficientes palindrómicos 1, 2, 3, 2, 1 son la firma del cuadrado de una expresión de tres términos, no de un binomio.
La respuesta es (x² + 2x + 3)(x² − x + 1). La cuártica no tiene raíces racionales, así que se igualan coeficientes contra (x²+ax+b)(x²+cx+d) con bd = 3.
Se factoriza como (x² - x + 1 - a)(x² + x + 1 + a). Al completar (x² + 1)² la expresión se reescribe como (x² + 1)² - (x + a)², una simple diferencia de cuadrados.
El resultado es 2(x − 2)(x + 2)(x² + 10). Sumar las dos cuartas potencias cancela todos los términos de grado impar y deja 2x⁴ + 12x² − 80, que es una cuadrática en x².
La factorización es 2x(x+4)(x²+4x+14). Centrar la sustitución en y = x + 2 elimina las potencias impares y deja una bicuadrática en y que se factoriza como una cuadrática en y².
La forma simplificada es (x + 5)/(x + 6)^(6/5). Con exponentes negativos, el menor es −6/5, así que esa es la potencia que se saca como factor común de ambos términos.
La forma simplificada es −(x + 6)(x + 7)^(1/3). Saca como factor la potencia menor, (x + 7)^(1/3), y simplifica el corchete restante 1 − (x + 7) hasta −x − 6.
La respuesta es (x - 64)(x - 36), y no (x - 48)². Primero se evalúa 48² = 2304 y luego se busca la pareja negativa -64 y -36, que suma exactamente -100.
La factorización es (x − a − 1)(x − a + 2). Sustituir u = x − a reduce la expresión a u² + u − 2, que se separa de inmediato como (u − 1)(u + 2).
La respuesta es (x − y − 3)(x − y + 3). Los tres primeros términos se contraen en (x − y)², y lo que queda es una diferencia de cuadrados contra 3².
La respuesta es x(x − 4). Ambos términos contienen x, así que x es el máximo común divisor; al sacarlo queda x − 4, y las raíces son entonces x = 0 y x = 4.
La factorización es (x − y − 5)(x + y + 1). Se completa el cuadrado en los términos con x y en los términos con y para llegar a (x − 2)² − (y + 3)², y luego se aplica A² − B² = (A − B)(A + B).
La respuesta es (x − 3)(x − 4). Un término independiente positivo con término central negativo obliga a que los dos números sean negativos: −3 y −4 multiplican 12 y suman −7.
El discriminante es -3, así que no existe factorización real. Sobre C se descompone como (x - (1 + i√3)/2)(x - (1 - i√3)/2), un par de raíces conjugadas.
x² + 25 es primo sobre los números reales. Una suma de cuadrados no tiene raíces reales, así que, a diferencia de x² − 25, no puede separarse en un producto de dos factores lineales reales.
La factorización es (x+a+6)(x+a−1). Se factoriza el término constante a² + 5a − 6 como (a+6)(a−1) y se observa que su suma es exactamente el coeficiente 2a + 5 de x.
La factorización es (x − 4y)(x + y + 2). Primero se factoriza la parte de grado dos como (x − 4y)(x + y); el resto 2x − 8y = 2(x − 4y) comparte entonces ese mismo paréntesis.
La factorización es (x + 2y − 3)(x + 3y + 1). Primero se factoriza la parte de grado dos, x² + 5xy + 6y², como (x + 2y)(x + 3y), y después se buscan las dos constantes que reproducen los términos −2x y −7y.
La respuesta es (x + 4)(x − 3). Un término independiente negativo obliga a signos opuestos, y 4 con −3 es la única pareja que multiplica −12 y suma +1.
La respuesta es (x + 3)(x - 2). La constante negativa obliga a que los signos sean opuestos, y 3 con -2 es la única pareja que multiplica -6 y suma +1.
La respuesta es (x + a)(x − a + 1). Las dos expresiones a y 1 − a se multiplican para dar a − a² y suman 1, que es justo lo que pide el patrón de factorización.
El discriminante vale −3, así que no existe factorización real. Sobre C queda (x + 1/2 − i√3/2)(x + 1/2 + i√3/2), y sus raíces son raíces cúbicas de la unidad.
Respuesta: (x² − xy + y²)². Al desarrollar queda la cuártica simétrica x⁴−2x³y+3x²y²−2xy³+y⁴, que se factoriza como un cuadrado en cuanto se prueba con (x²+axy+y²)(x²+bxy+y²).
La respuesta es (x − y)(x − 1)(x + 1). Como y − x = −(x − y), los dos paréntesis coinciden, y lo que queda, x² − 1, es una diferencia de cuadrados.
La factorización es y(x − 2)². Al sacar la y común queda x² − 4x + 4, un cuadrado perfecto, así que la respuesta necesita una etapa de factor común y otra de identidad.
La respuesta es (x - 1)(x¹⁰⁴ + x¹⁰³ + ... + x + 1). Una diferencia de potencias n-ésimas siempre tiene a x - 1 como factor, sea cual sea n, y el cofactor lleva todos los signos positivos.
La respuesta es (x + 1)(x¹⁰⁴ − x¹⁰³ + … − x + 1). Como 105 es impar, x = −1 es raíz, así que x + 1 divide a la expresión y el cofactor alterna los signos.
La factorización es (x² − 1/2)². Tomar x² como variable convierte la cuártica en un cuadrado perfecto, ya que 1/4 es (1/2)² y −2 por x² por 1/2 da −x².
La respuesta es (x − y)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²y + ... + yⁿ⁻¹). Todos los signos del cofactor son positivos, y los términos intermedios se cancelan por telescopaje al desarrollar el producto.
La respuesta es (x − y)(x + y)(x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴)(x⁴ − x³y + x²y² − xy³ + y⁴). Primero se separa como diferencia de cuadrados y después se usan las fórmulas de las quintas potencias.
Respuesta: (x−1)²(y−1)². Al desarrollar todo queda una expresión de nueve términos que es exactamente el cuadrado de xy − x − y + 1, y este a su vez se factoriza como (x−1)(y−1).
La respuesta es ab = -1/4, con a = -1/2 y b = 1/2. Que la solución esté entre las raíces obliga a que a < 0, y el término independiente 1 fija la escala.
La solución es a = 3 y b = 4. Una ecuación lineal en dos variables exige que ambos exponentes valgan 1, lo que da el sistema 2a − b = 2 y 3a + 2b = 17.
La respuesta es (a, b) = (4, −10). Los coeficientes fijan las sumas de raíces en 5 y −3, así que los intervalos tienen que ser (1, 4) y (−5, 2), cuya intersección es (1, 2).
a = −5, b = 25, de modo que a − b = −30. El centro 1 del intervalo debe ser igual a −5/a y su radio 5 debe ser igual a b/|a|, lo que fija ambos parámetros de una vez.
La respuesta es a ≤ 1. Al sustituir x = 3 queda 2a, y que 3 no esté en A significa que 2a > 2 debe ser falso, es decir 2a ≤ 2 — no hace falta ningún cuadro de signos.
Sustituir el origen en √((x−1)² + y²) · (x − a) = 1 da 1 · (−a) = 1, así que a = −1.
(f − g)(x) = 4x + 8. Se resta la totalidad de g, así que el signo menos debe alcanzar al −6 y convertirlo en +6; luego se combinan 5x − x y 2 + 6.
El valor es f(2) = 18. Al escribir (x + 1)f(x) = (x³ + 2)Q(x) + x + 2 con Q lineal, la raíz x = −1 y el dato f(0) = 4 determinan Q(x) = 2x + 1.
k = 3. La función tiene simetría puntual respecto de (5, 7) y las cotas 1 y 13 son simétricas respecto de 7, así que el intervalo k − 9 ≤ x ≤ 3k + 7 debe estar centrado en x = 5.
k = 5. La inecuación es simétrica respecto de x = 4, así que el punto medio del intervalo (k - 8 + 2k + 1)/2 debe ser igual a 4, lo que da 3k - 7 = 8 y el conjunto solución -3 < x < 11.
La respuesta es k = 5. Al simplificar cada radical como múltiplo de √3 quedan los coeficientes −1, −1/3, +1/3 y +6; los dos centrales se cancelan y sobrevive 5√3.
La respuesta es 2022 ≤ λ ≤ 2026. Solo la raíz cuadrada restringe λ: su radicando exige (λ − 2024)² ≤ 4, es decir |λ − 2024| ≤ 2, centrado en 2024.
El valor es m = 13. Al sustituir x = 2, el término 2mx se convierte en 4m y la ecuación queda 36 + 4m = 88; restando 36 se llega a 4m = 52, y dividiendo entre 4 resulta m = 13.
La respuesta es 5/4. Se despeja el conjugado de z-1, se racionaliza el denominador, se conjuga a ambos lados para recuperar z y se aplica |z|^2 = a^2 + b^2.
N = 42u²v − 25uv² + 3v³. Suma a ambos lados el trinomio que se resta y luego reduce términos semejantes con cuidado: los términos en uv² son −10 y −15, y dan −25.
P = 12m²n + 3mn² + 27mn. Como P es el sustraendo, es igual al primer polinomio menos el segundo, así que todos los signos del segundo cambian.
Respuesta: |Z| = 2. Se escribe Z = r e^(iθ); el factor común e^(−iθ) tiene módulo 1, lo que deja √(r² + 16/r²) = 2√2 y el cuadrado perfecto (r² − 4)² = 0.
Respuesta: (−∞, −3), con b = 6. Como (2, +∞) es un intervalo solución, x = 2 es raíz, lo que da b = 6 y la factorización (x+3)(x−2) > 0.
El recíproco de 1/(5y²) es 5y², válido para y ≠ 0. Invertir una fracción intercambia numerador y denominador; la comprobación es que el producto de un valor por su recíproco da 1.
Al sumar las tres ecuaciones se obtiene 2(t1 + t2 + t3) = 24.62, de modo que el total es 12.31 s. Restando cada suma dada resulta t1 = 5.59, t2 = 2.97 y t3 = 3.75 s.
Respuesta: y = 2254 y x = 2231.46. Quita los dos denominadores para obtener x = 0.99y y x = 0.98(y+23), iguala ambas y solo queda un coeficiente de 0.01.
Sumar las dos ecuaciones da 5x + 5y = 29, así que x + y = 29/5 en un solo renglón: no hace falta hallar x e y por separado.
Resolver 2018 − 5(n − 1) < 0 da n > 404.6, así que el primer término negativo es u405 = −2. El anterior, u404 = 3, todavía es positivo, lo que confirma el corte.
La respuesta es dividir 8x³ entre 2x, lo que da 4x². La división larga de polinomios siempre empieza dividiendo el término principal del dividendo entre el término principal del divisor.
Resolver 3 + 7(n − 1) > 2018 da n > 288.86, así que n = 289 y ese término vale 2019. El anterior, 2012, todavía queda por debajo de 2018, lo que fija la respuesta.
La solución es x = 126/5, y = 18/5, z = -24/5, w = 3/5, m = -41/5. Usar y = 6w y x = 30 + z lo reduce todo a z, y la segunda ecuación fija w = 1 + z/12.
La solución es x = 17, y = 20, z = −13, w = −13/3. Quitar pronto las fracciones y encadenar las sustituciones x = 30 + z y w = z/3 reduce todo a una sola ecuación en z.
La solución es x = -71, y = 68, z = -101, w = -709/6. La primera ecuación da x + y = -3 y, con x = 30 + z, se convierte en y + z = -33, dejando una sola ecuación en y y z.
Respuesta: x = 17, y = 20, z = −13, w = −125/6. Despejar la primera ecuación da x − y = −3, y al igualar la segunda con la tercera los términos en z se cancelan por completo.
La pendiente es m = 3. Suma 6x en ambos miembros para llegar a 2y = 6x + 5, divide cada término entre 2 hasta obtener y = 3x + 5/2 y lee el coeficiente de x.
La gráfica es una parábola que abre hacia arriba con vértice (0, 1) y eje x = 0: la parábola madre y = x² desplazada una unidad hacia arriba. Su recorrido es y ≥ 1, así que nunca corta al eje de abscisas.
El vértice es (−5, −4) y la V abre hacia abajo con pendientes ±1, máximo −4, corte con el eje y en −9 y ningún corte con el eje x, porque toda salida es a lo sumo −4.
La solución es el rombo relleno con vértices (4,0), (0,3), (−4,0) y (0,−3). Las intersecciones con los ejes más la doble simetría de reflexión dan toda la región enseguida.
La solución es el semiplano superior cerrado. Como y ≥ 0 no contiene ninguna x, la frontera es el propio eje x y el sombreado cubre todo lo que está sobre él o por encima.
La solución es la cuña no acotada x ≥ 2, y ≤ 6 − x con vértice (2, 4): a la derecha de la recta x = 2 y sobre o por debajo de y = 6 − x, con ambos bordes incluidos.
La altura es x − 3 + (7x − 9)/(x² − 2). La división larga deja un resto no nulo 7x − 9, así que la altura no es un polinomio; comprobado en x = 2, donde vale 1.5.
La especia más picante marca 26.5. Duplicar cada ecuación quita las mitades, sumar las tres da x + y + z = 43.5, y una resta recupera cada nivel en un solo paso.
Respuesta: para k distinto de 1 solo (0,0,0); para k = 1, toda la recta (0,t,t). Eliminar entre las ecuaciones 1 y 3 obliga a que x = 0, y después (k-1)z = 0 separa los casos.
Respuesta: (x, y, z) = (0, t, t) para cualquier t real. El determinante es cero, así que además de la solución trivial el sistema tiene toda una recta de soluciones por el origen.
El recorrido duró 30 días. Las distancias diarias forman una progresión aritmética, así que S = (a1 + an)/2 × n; con S = 150 y a1 + an = 10 queda 150 = 5n.
Las progresiones 2, 5, 8, ... y −1, 6, 13, ... (1000 términos cada una) comparten los números con x ≡ 2 (mod 3) y x ≡ 6 (mod 7), es decir x ≡ 20 (mod 21) hasta 2999: 142 valores.
La gráfica de g es la de f trasladada 9 unidades hacia abajo, con el vértice pasando de (0, 0) a (0, −9). La forma de V y ambas pendientes se mantienen sin cambios.
En el origen tanto z = 0 como z = 2 cumplen la ecuación, así que no existe ninguna f univaluada. La superficie es x² + y² = √(8z) − z² para 0 ≤ z ≤ 2.
La solución es h > 1.3397214. Ningún h ≤ 0 sirve; para h > 0 la desigualdad equivale a h⁴ − 1.8h − 0.81 > 0, cuya única raíz positiva se halla con el método de Newton.
La respuesta es x ≤ 1. Multiplicar todo por el mínimo común denominador 6 elimina ambas fracciones, y dividir entre −11 al final es el paso que invierte el sentido de la desigualdad.
La solución es x < 2 con x ≠ −1. Al factorizar queda (x + 1)²(x² − x + 1)(2 − x) > 0, y como el cuadrado y la cuadrática nunca son negativos, solo 2 − x fija el signo.
Una progresión aritmética de 1001 términos de 1 a 2018 tiene d = 2017/1000. El término 501 es 1 + 500d = 1 + 2017/2 = 2019/2 = 1009.5, justo el punto medio entre 1 y 2018.
Colocar 3 números entre 2 y 22 forma una progresión aritmética de 5 términos, así que 22 = 2 + 4d y d = 5. Los medios insertados son 7, 12 y 17, y dan 2, 7, 12, 17, 22.
La respuesta es x > 3. La rama x < −2 queda eliminada por x ≥ −1, porque las dos condiciones no pueden cumplirse a la vez, y solo sobrevive la rama x > 3.
Respuesta: (0.4433, 0.7268) y (-0.6025, 4.9100). Igualar las dos expresiones y quitar el denominador da la cuadrática 9.36x² + 1.49x - 2.5 = 0.
Respuesta: aproximadamente (0.4569, 0.6724) y (−0.9500, 6.2998). Se elimina el denominador para llegar a 288x² + 142x − 125 = 0, se resuelve y luego se comprueba que ninguna raíz cae en el polo.
La intersección es el intervalo degenerado {−10}. Los dos intervalos incluyen −10 como extremo cerrado y ningún otro número pertenece a ambos, así que el solape es un solo punto.
Respuesta: la inversa de t es x²/9 − 6 para x ≥ 0. Intercambia x e y, divide entre 3 antes de elevar al cuadrado, y la restricción sale de que el recorrido original es no negativo.
No, es incorrecto: una coma en la notación por comprensión significa Y, de modo que el conjunto es vacío. Para describir [2, 5] ∪ {10} hay que escribir la palabra o, como en {x | 2 ≤ x ≤ 5 o x = 10}.
No es ni par ni impar. f(−x) = −x√(9 − x), que no coincide ni con f(x) ni con −f(x), y además el dominio x ≥ −9 no es simétrico respecto de cero.
Hay cuatro soluciones, incluidas la pareja exacta (3/5, 4/5, −5) y (−1, 0, 1); las otras dos llevan √11. Todo candidato tiene que cumplir x² + y² = 1.
Los enteros son 23, 24 y 25, así que el mayor es 25. Si el primero es x, la suma se escribe 3x + 3 = 72, de donde x = 23; sumando 2 se obtiene el mayor.
x = 6. Si y = 2x^2 - 21x + 64 y y = 3x + a se cortan una sola vez, la cuadrática tiene raíz doble: x = 24/4 = 6 y a = -8. Método del discriminante paso a paso.
La recta es y = −4x + 3. Usa la forma punto-pendiente, cuida que el doble negativo x − (−1) se vuelva x + 1, pasa a la forma pendiente-ordenada y comprueba con el punto.
La ecuación es y = (2/3)x + 9. Se parte de la forma punto-pendiente y − 5 = (2/3)(x + 6); la fracción desaparece limpiamente porque la abscisa −6 es divisible entre 3.
x ≈ 128.0002, y la respuesta exacta buscada es 128. Los dos decimales son versiones redondeadas de 3/110 y 384/110, cuyo cociente vale exactamente 128.
La solución es x = −3. Todos los términos ya tienen denominador 3, así que cada miembro se reduce a una sola fracción y la ecuación queda x − 1 = 2x + 2.
La ecuación es 50x + 20y = 2000, o 5x + 2y = 200 tras dividir entre 10. Un par válido es x = 20 adultos con y = 50 niños, ya que 1000 + 1000 = 2000.
Respuesta: todos los números reales. Los dos miembros se desarrollan a 3 − 8x, así que la ecuación se reduce a 3 − 8x = 3 − 8x, una identidad y no una condición que fije x.
La solución es u = −1127/300 ≈ −3.7567. Reduce 4520/1200 a 113/30, escribe 0.01 como 1/100 y resta usando el común denominador 300.
Respuesta: x = −209/7, unos −29.857. Se agrupan las constantes de cada miembro en un número mixto, se resta para aislar el coeficiente 7/45 y el denominador común 45 se cancela.
La ecuación no tiene solución. Al quitar los corchetes anidados queda 6x - 23 = 6x - 2; los términos en x se cancelan y dejan la afirmación falsa -23 = -2.
La solución es x = 7250 exacta. Distribuye el 0.03 para obtener 0.024x − 150, cambia el signo de todo el paréntesis, agrupa hasta 0.976x + 150 = 7226 y divide.
La solución es x = 442625/61 ≈ 7256.15. El mismo desarrollo da 0.976x + 150 = 7232, pero 7082/0.976 no tiene decimal exacto, así que la respuesta exacta es una fracción.
Respuesta: x = 1,646,872.17, exactamente 2653438800000/1611199. Se saca x como factor común del miembro izquierdo, se une el paréntesis en una sola fracción y luego se multiplica por el recíproco.
La solución es x = 29300000/171 ≈ 171345.03. Multiplica 0.0005 por 52 para obtener 0.026, agrupa 1x + 0.026x = 1.026x y divide 175800 entre 1.026.
Respuesta: x > 80/3, unos 26.67. Se resta x para llegar a 0.3x − 5 > 3, se suma 5 y se divide entre el pequeño coeficiente positivo 0.3, no entre 2 como ocurriría con 3x − 5 > x + 3.
La respuesta es n ≥ -23/6. Distribuye el -2, suma las constantes hasta 29, suma 8n en ambos miembros y luego divide entre 6, que es positivo, así que el signo nunca se invierte.
La respuesta es n ≥ −5. Al distribuir el −3 queda 31 − 3n y, tras sumar 8n, las constantes caen sobre un número entero, así que la cota es entera y no fraccionaria.
Respuesta: x > −543/13, alrededor de −41.77. Simplifica cada lado hasta 3x − 299 y 8.2x − 81.8, y luego divide entre 5.2, que es positivo, así que el signo de la desigualdad no cambia.
Respuesta: x > 10. Se multiplica por el común denominador 20 hasta llegar a 5(x+2) − 4x > 20, se desarrolla a x + 10 > 20 y se resta; los términos en x casi se cancelan y queda un solo paso.
Respuesta: x > 6. La trampa está en que 4 − (x−2)/2 = 5 − x/2, y no 3 − x/2. Agrupa los términos con x sobre el denominador 6 para llegar a 5x/6 > 5 y termina con una sola división.
Respuesta: x < 11. Se multiplican los dos miembros de (2x−1)/3 > (3x−5)/4 por el mínimo común denominador positivo 12, se distribuye hasta llegar a 8x−4 > 9x−15 y se despeja x; aquí no hace falta invertir el signo.
La respuesta es el conjunto vacío. Restar x en ambos miembros borra la variable y deja -1/3 > 4, una afirmación falsa, así que ningún valor de x puede funcionar.
La solución es x ≤ −1/2. Combina cada miembro sobre un común denominador, multiplica todo por 12 para quitar las fracciones y despeja x a partir de 14x − 2 ≤ 12x − 3.
Respuesta: x > −1. Multiplica por el común denominador 10, que es positivo, para obtener 5(x−1) < 2(7x+2), desarrolla hasta 5x−5 < 14x+4 y pasa los términos en x de modo que el coeficiente quede positivo.
log y = b log x + log a. Como la incógnita es el exponente, hacen falta logaritmos en los dos ejes: la pendiente b y la ordenada al origen log a se leen directamente de una gráfica log-log.
Multiplicar todo por √x deja y√x = px + q, así que graficar Y = y√x frente a X = x da una recta de pendiente p e intersección q.
log y = −(log p)x + log q. Al representar log y frente a x (no frente a log x) se obtiene una recta de pendiente −log p y ordenada al origen log q.
1/y = (b/a)(1/x) - 1/a. Aquí no hace falta ningún logaritmo: las variables están enredadas en un producto, así que lo que endereza la gráfica son los recíprocos, no los logaritmos.
El valor es exactamente 1. Como 18 = 3² · 2, la regla del producto da log₃(18) = 2 + log₃(2), así que el numerador y el denominador son literalmente el mismo número.
La ecuación tiene una única raíz, x = -3, así que la suma de sus raíces es -3. El cambio de base convierte el cociente de logaritmos en un solo logaritmo.
La solución es x > 16, así que el menor entero positivo es 17. Une el lado derecho en un solo logaritmo, compara los argumentos porque la base 5 > 1, y los términos en x se cancelan.
La solución es x ≤ −5/2, x = 0 o 1/6 ≤ x < 1/2. Se separa según el signo de x, se divide entre x (invirtiendo el sentido si x < 0) y se usa que log base 1/3 decrece.
El cociente es 3x + 2 con resto 3, así que el resultado es 3x + 2 + 3/(x − 2). El resto no nulo coincide con f(2) = 3, tal como predice el teorema del resto.
El cociente es 2x - 4 con resto 2, es decir 2x - 4 + 2/(3x + 2). Como el divisor empieza por 3x y no por x, cada término del cociente exige dividir entre 3.
El cociente es 4x² + 7x + 15 con resto 78, es decir 4x² + 7x + 15 + 78/(2x − 5). El divisor no es mónico, así que cada término del cociente sale de dividir entre 2x.
El cociente es x² + 4x − 5 con resto 0, así que x + 3 es un factor y la cúbica se factoriza por completo como (x + 3)(x + 5)(x − 1), con raíces −3, −5 y 1.
La respuesta es h = 4p² − 20pk. Multiplicar ambos lados por 4p libera h, y luego 4p se distribuye sobre los dos términos de p − 5k, dando dos términos y no uno.
Demostración de que si una matriz cuadrada conmuta con todas las matrices del mismo tamaño, entonces es λI. Se usan las matrices unidad E_ij en la prueba.
AB es la matriz 3x2 con filas (11,11), (4,4) y (20,20). AᵀBᵀ no se puede formar porque una 3x3 no puede multiplicar a una 2x3; la identidad válida con transpuestas es (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
La respuesta es x = (36 − √71)/12. Multiplicar en cruz da 6x = a², y elevar el radical al cuadrado produce 72 − 2√71 antes de dividir entre 4 y luego entre 6.
El mínimo es (4√2 − 3)/6 ≈ 0.4428, alcanzado en a = (5 − 3√2)/2 y b = 3√2 − 4. Al sustituir b = 1 − 2a e igualar la derivada a cero se llega a (1 + 2a)² = 8(1 − a)².
El valor mínimo es 3/16, alcanzado cuando a = b = c. Un paso con la desigualdad de las medias potenciales más un lema de dos términos acotan la suma de cuadrados por debajo con 3/4, que es justo lo necesario.
Respuesta: a ≤ 7. La suma de cuatro valores absolutos tiene mínimo 7, alcanzado en todo el intervalo central [−1, 1] entre los dos puntos interiores, y no en [−3, 1].
Lee la expresión como la distancia total de x a −1 y a 2. Esa suma es mínima para cualquier x entre ambos, donde vale justo la separación 2 − (−1) = 3.
Mezclando 10 L de la solución al 20% con 10 L de la del 50% se obtienen 20 L al 35%. Se plantean las ecuaciones de volumen y de alcohol puro y se resuelve.
Respuesta: 25. Las propiedades del módulo reducen la expresión a |Z2|², así que solo importa Z2 = (7i⁸⁸ + 24i³³)/(5i); se simplifica a 24/5 − 7i/5, con |Z2| = 5.
El valor es 27. Al cancelar Z2 la expresión se reduce a |Z1|³, y las dos ecuaciones dadas obligan a que el conjugado de Z1 sea −3i, de modo que Z1 = 3i y |Z1| = 3.
El producto es 21x⁴ + 28x³y + 62x²y² + 36xy³ + 45y⁴. Al ordenar los seis productos parciales por grado total en x e y se ve que solo se combina el par en x²y².
(4x + 1)(3x + 2) es igual a 12x² + 11x + 2. FOIL multiplica los pares primero, exterior, interior y último, y luego los dos términos centrales 8x y 3x se combinan en 11x.
El producto es 10x⁴ + 24x³ - 63x² + 27x. Distribuye 5x² y después -3x sobre el trinomio, y luego combina los dos términos semejantes en x³ y los dos en x².
(6x² − 7)(5x² − 6) es igual a 30x⁴ − 71x² + 42. Trata x² como una sola unidad, multiplica los cuatro pares de términos y combina −36x² con −35x² en el término central −71x².
La respuesta es 85, un número real. Los factores son conjugados complejos, así que el producto se reduce a 9² − (2i)² = 81 + 4 y los términos con i se cancelan exactamente.
El producto es 4x⁴ + 21x³ + 7x² + 16x + 30. Se distribuye x sobre los cuatro términos, luego se distribuye 5 y se suman las dos filas emparejando las potencias de x.
El producto es 56y⁶ + 21y⁵ − 21y⁴ − 56x²y³ − 35y³ + 21y² − 56xy². Multiplica los coeficientes y suma los exponentes de y en cada uno de los siete términos.
El producto es igual a 2 por la raíz cúbica de 3. Combina los dos radicales en la raíz cúbica de 24 y extrae el factor cubo perfecto 8 que divide a 24.
El producto es −18x⁴ + 8x³ + 59x² − 28x + 14. El primer factor no tiene término en x, así que solo la columna de x² recibe aportes de las dos mitades de la distribución.
El producto vale 2x² − 4x + 1. Agrupa los coeficientes de x en el par conjugado 2 ± √2, usa (2−√2)(2+√2) = 2 para el término en x² y los radicales se cancelan en el término en x.
El producto se simplifica a (x − 3)/(x + 8). Se factorizan las cuatro expresiones cuadráticas, se cancelan los factores comunes (x − 6), (x + 3) y (x − 8), y nunca se cancela a través de una suma.
El producto es x³ - 9x² + 14x + 24. Distribuye x y después -4 sobre el trinomio, y fíjate en que el término independiente sale positivo porque -4 por -6 da +24.
El producto es x³ + 1. Al distribuir queda x³ − x² + x + x² − x + 1, donde cuatro términos se cancelan; el atajo es la identidad a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) con a = x y b = 1.
El producto es x³ + 1000. El segundo factor es exactamente a² − ab + b² con a = x y b = 10, así que la identidad reduce seis términos a solo dos.
El producto es 2x² + 9xy − 5y². Al distribuir salen cuatro términos, y los dos del medio, −xy y +10xy, se combinan en el único término semejante 9xy.
El producto es (x−1)/(x+2). Factoriza primero las cuatro cuadráticas y luego cancela un (x−1), un (x+3) y una x entre las dos fracciones, antes de desarrollar nada.
El producto es 2x⁴ + 6x²y² + 6x²z² + 4y⁴ + 6y²z². Solo se combinan los términos en x²y²; los otros cuatro monomios llevan patrones de variables distintos y quedan separados.
Respuesta: no hay solución real. Una suma de cuadrados no negativos vale cero solo si ambos se anulan, y 1.6 no es igual a 1.5; al desarrollar, el discriminante resulta ser -0.08.
La respuesta es 15 bolígrafos. Se toma el precio como 240/x, se plantea la condición 240/x − 240/(x+1) = 1, se eliminan los denominadores hasta x² + x − 240 = 0 y se descarta la raíz negativa.
Filas de 1, 2, 3, ... árboles dan la suma triangular n(n + 1)/2 = 3003, así que n² + n - 6006 = 0 y n = 77. Al comprobarlo, 77(78)/2 = 3003 exactamente.
La respuesta se separa en siete casos. El signo de a decide si la solución es un intervalo acotado, dos semirrectas, todo R o el conjunto vacío, y b decide dónde queda la frontera.
La respuesta se separa según a: todos los reales si a > 1, todo x ≠ −1 si a = 1, x > −1/2 si a = 0, y en los demás casos intervalos construidos con (−1 ± √(1−a))/a.
Al pasar 2x al otro lado, la desigualdad se factoriza como (x−2)(ax−1) ≥ 0. La respuesta se parte en a = 1/2: la solución está fuera de las raíces 2 y 1/a, y es todo ℝ cuando las raíces coinciden.
El discriminante es el cuadrado perfecto (3a + 4)², así que las raíces son siempre −3 y 4/a. El conjunto solución se separa según el signo de a, con a = 0 y a = −4/3 como casos aparte.
La descomposición es 1/n − 2/(2n + 1). Factorizar el denominador como n(2n + 1) da dos factores lineales distintos, y comparar coeficientes lleva a A = 1 y B = −2.
El resultado es 2/(x - 1) + 1/(x - 1)². Un factor lineal repetido necesita un término por cada potencia, y al igualar coeficientes se obtiene A = 2 y B = 1.
La descomposición es 1/(x − 1) + 2/(x − 1)². Un factor lineal repetido necesita un término por cada potencia, e igualar coeficientes da A = 1 y B = 2.
La factorización es (3x − 2y)². Los dos términos de los extremos son cuadrados perfectos, 9x² = (3x)² y 4y² = (2y)², y el término central −12xy es exactamente −2(3x)(2y).
x² − 8xy + 16y² = (x − 4y)². Comprueba que 16y² es (4y)² y que el término central es igual a −2 por x por 4y, y luego lee directamente el cuadrado de una diferencia.
El perímetro es 43 m. Al llamar x al ancho se llega a x(2x+5)=88, una cuadrática cuya raíz positiva es 5.5 m, de modo que el largo es 16 m.
El perímetro es de 40 pies. Sumar las tres expresiones da 3x² + 3x - 20, que en x = 4 vale 40; agrupar primero los términos semejantes es más rápido.
La diferencia se reduce a 12a^2b^2 - 5ab^5, un binomio de grado 6. Se ve por qué al restar se cancelan los términos a^3b y por qué el grado suma los exponentes.
La entrada que falta en el cociente es A = −3, así que el cociente es x − 3 con resto 0. Se explica cómo se genera cada casilla de la tabla de división.
El cociente es x − 2 y el resto es 8x − 5. Un divisor cuadrático descarta la división sintética, así que el método que se aplica aquí es la división larga.
El cociente es x y el resto es −6x + 5, así que la cúbica es igual a x(x² + 2) − 6x + 5. Tanto el dividendo como el divisor tienen huecos que hay que rellenar con ceros.
El valor positivo es x = 30. Al multiplicar en cruz queda x² = 900, así que x es la media geométrica de 20 y 45, y ambas razones se reducen a 2 : 3.
a + b + c es igual a y(1) = 64a − 14, y a debe ser positivo, así que sirve cualquier valor mayor que −14. Evaluar en x = 1 es el truco que evita despejar b y c.
La impresora B imprime 4200 páginas. El ritmo de 360 páginas por hora de la impresora A hace que el trabajo completo sea de 2520 páginas, así que B trabaja a 840 páginas por hora y produce 4200 en 5 horas.
El producto AB tiene filas (0, 6, 16), (−7, −2, −3) y (−2, 2, 6). Cada entrada es el producto escalar de una fila de A por una columna de B, así que hacen falta nueve productos escalares.
Desarrolla (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ y 3xy(x + y) = 3x²y + 3xy²; al restar se cancelan los dos términos mixtos y queda exactamente x³ + y³.
La identidad es cierta para todos los conjuntos. Reescribe la diferencia simétrica, observa que su complemento es (A∩B) ∪ complemento(A∪B) y distribuye la eliminación de (A∩B∩C) sobre esa unión.
Completar el cuadrado convierte los factores en 2(x − 1)² + 1 y (x − 1)² + 1, cada uno mayor o igual que 1. Su producto solo puede valer 1 cuando los dos valen 1, lo que fuerza x = 1.
Ambos factores se completan a cuadrado en torno a x = 2 y quedan (x−2)² + 1 y 2(x−2)² + 1, cada uno al menos 1, así que su producto vale 1 únicamente cuando x = 2.
El discriminante es a² − 4a + 8 = (a − 2)² + 4, que vale al menos 4 para todo a real. Un discriminante estrictamente positivo garantiza dos raíces reales diferentes.
Respuesta: x = 20.568376 o x = 2.190902. El discriminante es b² − 4ac = 3.1777162025, y la división final entre 2a = 0.194 amplifica unas cinco veces cualquier redondeo prematuro.
Respuesta: x = 21.675719 o x = 2.333560. Hay que conservar todos los decimales del discriminante b² − 4ac = 3.52008685 en lugar de redondear, y luego dividir entre 2a = 0.194.
Las raíces son x ≈ 142.379 y x ≈ 17.621, exactamente (1360 ± 105√102)/17. El discriminante es 426147.84 − 167051.52 = 259096.32, cuya raíz cuadrada es 509.01505.
Las raíces son x = (11 - √29)/2 = 2.807 y x = (3 + √13)/2 = 3.303. Se separa en x = 3, se resuelve una cuadrática en cada rama y se conservan las raíces válidas.
Respuesta: 2 − 2√3 ≤ x ≤ 2 + 2√3. Las raíces dan f(x) = a(x + 1)(x − 5), el mínimo −18 en el vértice x = 2 obliga a a = 2, y luego se resuelve 2x² − 8x − 10 ≤ 6.
Las soluciones reales son x = −12 y x = −13. Se sustituye u = x + 4 para convertir la ecuación en u² + 17u + 72 = 0, se factoriza y se vuelve a la variable x.
La respuesta es −1/2 ≤ x ≤ 2/3. El coeficiente principal oculto es −6, así que el producto es positivo entre las raíces y no fuera de ellas.
La respuesta es 3/2 < x < 2. El coeficiente principal oculto es −2, así que el producto es positivo estrictamente entre las raíces y no fuera de ellas.
Respuesta: x < −1/2 o x > 2. Se factoriza la cuadrática no mónica como (2x + 1)(x − 2), se hallan los puntos críticos −1/2 y 2, y se conservan los intervalos exteriores.
La respuesta es x ≤ −1/3 o x ≥ 1. El método AC parte −2x en −3x + x, con lo que se factoriza como (3x + 1)(x − 1), y desde ahí la parábola abre hacia arriba.
La única respuesta es x = 1/2. El trinomio es el cuadrado perfecto (2x − 1)², que nunca es negativo, así que la igualdad es la única manera de satisfacer la desigualdad.
Respuesta: no tiene solución. El trinomio es el cuadrado perfecto (2x - 1)², y un cuadrado real nunca es negativo, así que la desigualdad estricta tiene conjunto solución vacío.
La respuesta se apoya en las raíces (−8 ± 8√10)/3, alrededor de 5.766 y −11.099. El trinomio no factoriza sobre los enteros, así que x = 6 no es una raíz.
La respuesta es m < −6 o m > 2. Elevar −m al cuadrado borra el signo, y distribuir el −4 cambia los dos signos interiores, dejando el factorizable m² + 4m − 12.
No hay solución. Al desarrollar y reordenar queda 3x² − 6x + 7 < 0, pero el discriminante vale −48, así que esta parábola hacia arriba se mantiene estrictamente por encima del eje.
Respuesta: [−1, 0] unión [2/3, 4]. Factoriza cada cuadrática, resuelve las dos desigualdades por separado y después interseca los conjuntos solución sobre una sola recta numérica.
Respuesta: [−1, 0] unión [5/3, 4]. Se multiplica la primera inecuación por −1 para invertir su signo, se factoriza 3x² − 5x como x(3x − 5) y luego se intersecan los dos conjuntos solución.
Respuesta: x < -2√11363/11 o x > 2√11363/11, es decir aproximadamente ±19.3813. Evalúa el miembro derecho hasta 19285, divide entre 55 y conserva la cota como fracción.
Factoriza como (x − 1)(ax + 1), así que la respuesta necesita cinco casos, no tres. La rama a < 0 se vuelve a partir en a = −1, donde −1/a es igual a 1 y las raíces coinciden.
El conjunto solución es (−∞, 1) ∪ (3, ∞). Las raíces 1 y 3 parten la recta en tres intervalos, y el producto de dos factores lineales es positivo solo fuera de las raíces.
La respuesta es x < −1 o x > 3. La parábola abre hacia arriba, así que el producto es positivo fuera de las dos raíces y negativo en la franja que queda entre ellas.
La solución es x < −1 o x > 3. Resta 3 para llegar a (x − 3)(x + 1) > 0 y observa que una parábola que abre hacia arriba es positiva fuera de sus dos raíces.
La respuesta es x < 1 − √2 o x > 1 + √2. El trinomio no factoriza sobre los enteros, así que los dos puntos frontera los aporta la fórmula general.
La respuesta es el intervalo abierto (-1, 3). El trinomio se factoriza como (x - 3)(x + 1), y una parábola que se abre hacia arriba solo es negativa entre sus dos raíces.
La solución es x < −1 o x > 5. Al factorizar queda (x − 5)(x + 1) > 0, y probar un punto en cada uno de los tres intervalos muestra dónde el producto es positivo.
La respuesta es −1 < x < 5. Factoriza como (x − 5)(x + 1) y usa la parábola hacia arriba: una cuadrática con coeficiente positivo es negativa solo estrictamente entre sus dos raíces.
La respuesta es todo x real. El discriminante vale −3, así que no hay raíces reales, y al completar el cuadrado queda (x + 1/2)² + 3/4, con un mínimo positivo de 3/4.
El mayor valor posible de n es 14. Al factorizar f(x) = a(x - 1)(x + 7) resulta b = 6a, así que a + b = 7a, y el menor entero permitido es a = 2, lo que da 14.
La respuesta es 7/4 < k < 13/6. Las condiciones de signo f(0) > 0, f(1) < 0, f(2) < 0 y f(3) > 0 fijan el parámetro, y el producto de las raíces lo verifica.
Las cuatro raíces son reales: m ≈ −0.86460, 3.37180, 11.10473 y 13.31466. Un barrido de signos localiza todos los intervalos, y la suma y el producto de Vieta confirman que no falta ninguna.
Respuesta: no hay raíces reales. Una descomposición en suma de cuadrados, 3(x²+3x+3/2)² + 2x² + 5x + 21/4, muestra que la cuártica nunca baja de 17/8, así que las cuatro raíces son complejas.
Las raíces son u = −1, u = 1 y la raíz doble u = 3. Igualar coeficientes da (u² − 1)(u² − 6u + 9), que se factoriza además como (u − 1)(u + 1)(u − 3)².
Respuesta: x = 0.0115484893 y x = −0.0115485279. El término de cuarto grado domina, así que las raíces son casi las raíces cuartas de 1210.23/(6.804·10¹⁰) y resultan casi simétricas.
Respuesta: x = 947.0356 y x = -1332.1428. Un coeficiente principal diminuto no significa un término despreciable cuando x es grande: en x = 1729 la parte cuártica ya vale unos 6079.
Respuesta: x = 0.9 exacta, más x = −63.548577, 0.897443 y 79.551134. Los dos miembros esconden el factor (0.9 − x), así que la cuártica baja a una cúbica en lugar de desarrollarse.
Las raíces reales son x ≈ 8.4610649 y x ≈ −0.3736462, más un par complejo. Esta cuártica no tiene raíz racional ni se parte en dos cuadráticas enteras, así que hay que acotar y usar Newton.
Las raíces son x = 1, x = 7 y x = 4 ± √21. Los dos factores cuadráticos comparten x² − 8x, así que tomar t = x² − 8x convierte la cuártica en t² + 2t − 35 = (t + 7)(t − 5).
Respuesta: x = 205/18, unos 11.3889. Se divide entre 3 antes de elevar al cuadrado, de modo que √(2x − 1) = 14/3; después 2x − 1 = 196/9, luego 2x = 205/9 y finalmente x = 205/18.
La única solución es x = 3. Al elevar al cuadrado aparecen x = 0 y x = 3, pero x = 0 hace negativo el miembro derecho, así que es una raíz extraña y hay que descartarla.
Respuesta: x = 7/2 o x = −3/2. El radicando factoriza como 4(x − 1)², así que la raíz es 2|x − 1|; el valor absoluto produce exactamente dos soluciones.
Respuesta: x = 2. Al elevar al cuadrado se cancelan los términos x² y queda −3 = −2x + 1, o sea x = 2; cumple la condición de dominio x ≥ 1, así que no es una solución extraña.
Respuesta: no hay solución real. Al elevar al cuadrado queda 3x² − 14x + 24 = 0, cuyo discriminante vale 196 − 288 = −92, así que ningún x real satisface tampoco la ecuación elevada al cuadrado.
Respuesta: no tiene solución. Al elevar al cuadrado queda x² − 6x + 25 = x² − 6x + 9, así que todos los términos en x se cancelan y la ecuación se reduce al enunciado falso 25 = 9.
Respuesta: x = 0 o x = 6. Elevar al cuadrado es seguro porque el miembro derecho, 5, es positivo; el 25 se cancela entonces en los dos miembros y queda x(x − 6) = 0.
La única solución es x = 4. Al elevar al cuadrado aparece x² − 4x = 0 con raíces 0 y 4, pero x = 0 hace negativo el miembro derecho y se rechaza.
Hay dos soluciones, x = 0.9 y x ≈ 0.8974432593. Sustituir u = 8.9 − x convierte la ecuación en 71(u − 8) = (8.9 − u)√((u − 8)(u + 8)), lo que deja a la vista la raíz de frontera u = 8.
El resultado es m⁸/(256n⁴⁴). Cada factor recibe el exponente −4: (−4)⁻⁴ = 1/256, m⁻² pasa a m⁸, y n¹¹ pasa a n⁻⁴⁴, que baja al denominador.
El recorrido es 0 ≤ z ≤ 22. Escribir 6x − 8y como 4(x + y) + 2(x − 6y) permite acotar z directamente a partir de los dos intervalos dados, en lugar de despejar x e y.
Una base del espacio columna da A = UC, es decir r productos exteriores de rango uno; la subaditividad del rango prueba que menos de r es imposible. Dos mitades, dos herramientas distintas.
La razón es x : y = 1 : 2. Al quitar los /100 y después el 2/3, la frase se convierte en 12x + 15y = 10x + 16y, que se reduce a 2x = y.
La solución es (1/4, 4]. Se divide la cadena en dos desigualdades racionales, se pasa todo a un lado en cada una y se intersecan los resultados de las tablas de signos, excluyendo x = −1.
x = 5/3. El común denominador (x - 2)(x + 2) es exactamente x² - 4, lo que reduce la ecuación a 3x - 2 = 3, y 5/3 evita los valores excluidos 2 y -2.
La solución es X = 21/47 ≈ 0.4468. Se combinan 450X − 6X en 444X, se multiplica en cruz hasta 3150 + 54X = 7104X y se reduce 3150/7050 por su m.c.d. 150.
Respuesta: x = (−225 ± 25√161)/2, aproximadamente 46.107 y −271.107. El numerador se reduce a la constante 2500 y queda por resolver x² + 225x − 12500 = 0.
No hay solución real: el numerador se reduce a −2500 y queda x²+225x+37500=0 con discriminante −99375, así que las raíces son complejas, x = (−225 ± 25i√159)/2, con x ≠ −100 y x ≠ −125.
No hay solución real. Al combinar las fracciones el numerador se reduce a la constante −2500, así que la ecuación queda x² + 225x + 37500 = 0 con discriminante −99375 < 0.
La respuesta es [2/3, 1). Se pasa el 1 al otro lado y se combina todo sobre un solo denominador hasta llegar a (3x − 2)/(1 − x) ≥ 0; nunca se multiplica en cruz por 1 − x.
La respuesta es el intervalo semiabierto [1/2, 1). El cero del numerador se incluye porque 0 cumple ≥, pero x = 1 se excluye porque anula el denominador.
Respuesta: [−1, 1/2]. El denominador tiene discriminante −7, así que es positivo para todo x y el signo de la fracción completa lo decide únicamente el numerador.
La respuesta es el intervalo abierto (−1/2, 4). Un cociente es negativo justamente cuando el numerador y el denominador tienen signos opuestos, y eso solo pasa entre las dos raíces.
La solución es −1/2 < x ≤ 2/3. Restando 1 se obtiene (2 − 3x)/(2x + 1) ≥ 0, y el extremo izquierdo queda abierto porque el denominador se anula exactamente allí.
La respuesta es x < (−3−√37)/2 o 1 < x < (−3+√37)/2. Nunca multipliques en cruz: el signo de x − 1 es desconocido, así que combina todo en una sola fracción y usa una tabla de signos.
Respuesta: 1 < x ≤ 2, es decir el intervalo (1, 2]. Se pasa todo a un lado, se combina en (6 − 3x)/(x − 1) ≥ 0 y se usa una tabla de signos; nunca se multiplica por x − 1, cuyo signo se desconoce.
La solución es el intervalo (2, 5). Restar 1 y combinar en (5 - x)/(x - 2) > 0 evita multiplicar por x - 2, cuyo signo se desconoce.
La solución es −1/2 ≤ x < 0 junto con el punto aislado x = 1/3. El factor al cuadrado nunca cambia de signo, pero sí aporta un punto aislado de igualdad.
Respuesta: x ∈ ((−1 − √409)/6, −2) ∪ ((−1 + √409)/6, ∞), es decir (−3.5373, −2) ∪ (3.2040, ∞). Combine las partes polinómicas en (3x − 5)/6 y haga la tabla de signos de (3x² + x − 34)/(x + 2).
La solución es (−∞, 1] ∪ (2, 3). Se marcan los tres puntos críticos, se prueba cada intervalo y se conserva x = 1 cerrado mientras se excluyen x = 2 y x = 3.
La respuesta es (−3, 1]. Ambas partes comparten el factor x − 3, que se cancela pero aun así saca x = 3 del dominio: es un hueco, no un cambio de signo.
El resultado es 3√6 − 7. Se multiplica arriba y abajo por el conjugado √3 − √2; el denominador queda 3 − 2 = 1, así que la respuesta es simplemente el numerador desarrollado.
La respuesta es (17√11 − 34)/7. Multiplicar por el conjugado 2 − √11 convierte el denominador en 4 − 11 = −7, y luego el signo menos sube al numerador.
La respuesta es (2√7 − 2√2)/5. Se multiplica arriba y abajo por el conjugado √7 − √2 y la diferencia de cuadrados elimina las dos raíces del denominador.
La raíz cúbica de 7/y se simplifica a la raíz cúbica de 7y² dividida entre y. Se multiplica dentro del radical por y²/y² para que el denominador sea el cubo perfecto y³.
El resultado es √11/11. Multiplique numerador y denominador por √11 para que el denominador quede en 11; como 11 es primo, no hay factor común y nada se simplifica.
El resultado es 7√5 + 14. El conjugado deja un denominador de 5 − 4 = 1, así que la fracción desaparece por completo y la respuesta no tiene denominador.
La cúbica tiene tres raíces reales: −2.7875545, 3.2205249 y 4.5670296. No existe ninguna raíz racional, porque los únicos candidatos son los divisores de 41, es decir 1 y 41.
La respuesta es x ≈ 4.9807×10⁻⁵, no exactamente 5×10⁻⁵. El lado derecho es apenas el 1.17% de 8×10¹², lo que desplaza a x cerca de 0.39% — poco, pero muy lejos de cero.
La raíz es x = 4. Dos recíprocos son iguales solo cuando sus denominadores lo son, así que 4x − 5 = 11, de donde 4x = 16 y x = 4, valor que sí pertenece al dominio.
El resultado es f(x) = −|x + 2| − 1. Reflejar cambia de signo toda la función, con lo que el −1 pasa a +1, y la traslación posterior de 2 hacia abajo devuelve la constante a −1.
El resultado es f(x) = −|x + 2| + 1 con vértice (−2, 1). La reflexión convierte el −3 en +3, y bajar 2 unidades deja +1 — la constante no se queda negativa sin más.
El resultado es f(x) = −|x| − 6, con vértice (0, −6) y ramas de pendiente ∓1. Todas las salidas son negativas, así que la gráfica queda entera debajo del eje x, con máximo −6.
La región es la parte del disco cerrado de radio 3 que queda sobre la recta y = x + 1 o por debajo de ella. La recta frontera corta a la circunferencia donde x = (−1 ± √17)/2.
El resto es 26x − 47. Si f(x) deja resto 2x + 1 al dividir entre 2x² − 3x + 4, basta elevar al cubo ese resto y reducirlo con la regla x² = (3x − 4)/2.
El resto es 26x − 47. Como f = qD + (2x + 1), el cubo es congruente con (2x + 1)³ módulo D, así que solo hay que reducir ese cubo con una división larga.
Se usa el teorema del resto para dividir x³ − 2 entre x − 1 en un solo paso, sin división larga, y se explica por qué el resto es una constante y no un polinomio.
Como 27 = 3³, la regla de la potencia de una potencia da 27⁻² = 3⁻⁶, así que 3⁸/27⁻² se convierte en 3⁸/3⁻⁶ = 3¹⁴ = 4,782,969 al restar los exponentes.
La fórmula de Euler separa cada exponencial en coseno y seno; las partes de coseno se suman y las de seno se restan, y queda (a+b)cos 4 + i(b−a)sen 4, con parte real y parte imaginaria limpias.
La forma pendiente-intersección es y = x/4 − 7/4. Al distribuir el 1/4 y combinar 1/4 con −2 sobre el denominador 4 quedan pendiente 1/4 e intersección −7/4.
El resultado es (x + 4y)² − 4z. Los tres primeros términos forman el cuadrado perfecto (x + 4y)², ya que 16y² = (4y)² y 8xy es el doble de x·4y. El término −4z no se puede absorber sin conocer z.
Las raíces son x ≈ −29.572 y x ≈ 51.859, separadas más de 81 unidades. Un coeficiente principal diminuto hace que la parábola sea casi plana y aleja las raíces del vértice, situado en x ≈ 11.14.
Respuesta: x = 2 y −2 en los reales, más 2i y −2i sobre los complejos. Se factoriza x⁴ − 16 como (x²−4)(x²+4) y luego x² − 4 se separa en (x−2)(x+2).
La velocidad de ida es 50 km/h y la de vuelta 60 km/h. Se pasan 4 h 24 min a 4.4 h, se escribe cada tiempo como distancia sobre velocidad y se resuelve 220/v = 4.4.
La respuesta es 3037. La ecuación característica (r − 2)² = 0 da a_n = (A + Bn)2^n, de modo que a_2025 = 6,149,925 × 2^2025 y b/c = 6,149,925/2025 = 3037.
El término 19 vale 91.66672 y su parte entera es 91. Las diferencias se reducen a la mitad y alternan de signo, y la sucesión converge a (a1 + 2a2)/3 = 275/3.
Las soluciones reales son x ≈ ±1.23561. Al quitar el decimal queda x⁶ + 25x⁴ + 25x² − 100 = 0, y la sustitución y = x² la vuelve una cúbica cuya única raíz positiva es y ≈ 1.526734.
Hay cuatro raíces reales: x ≈ 0.00096368, 0.14670508, 0.15345189 y 0.22484227, más un par complejo. Acotar por cambios de signo es lo que permite separar las raíces casi dobles.
Respuesta: x = 2.982928 y x = −3.152475. Al desarrollar queda la ecuación de sexto grado x⁶ + 104x⁴ + 40x³ − 10000 = 0, que no tiene raíz racional, así que se acotan y bisecan los dos cambios de signo.
Respuesta: el sistema es incompatible - no existe solución. La sustitución lo reduce a tres ecuaciones en y y z que dan y = 25/2, z = -9/2, valores que no cumplen la ecuación restante.
La desigualdad equivale a (k − x)(t − y) > 0, así que k − x y t − y tienen que compartir el signo. Agrupar convierte cuatro productos dispersos en una sola condición factorizada.
La cúbica es irreducible sobre los racionales. Los únicos candidatos a raíz son 1 y −1, y los dos fallan, así que no existe factor lineal racional y el agrupamiento tampoco funciona.
No existe un m máximo: sustituir y = 1 − 3x da 1/x − 3 + 1/(1 − 3x), que tiende a +∞ cuando x → 1/3⁻, así que la expresión no está acotada superiormente y la cota m ≥ valor falla.
La respuesta es [2, 5] unión {10}. Las potencias pares nunca cambian el signo, así que solo cuentan (x−2)³ y (x−5)³; el punto aislado x = 10 entra porque ahí el producto vale cero.
La expresión es positiva en (-∞, 0) ∪ (2/3, 1). El numerador cambia de signo en 2/3 y el denominador en 0 y en 1, así que solo dos de los cuatro intervalos sirven.
La respuesta es 0.6x + 0.2. Es la forma de un promedio ponderado: mezclar la fracción x al 0.8 con el resto al 0.2 da un resultado que crece linealmente con x.
La respuesta es 1/a. El numerador es el cuadrado perfecto (1 − √(b/a))² = (√a − √b)²/a, así que el factor común (√a − √b)² se cancela y queda 1/a, con a > 0, b ≥ 0 y a ≠ b.
La respuesta es 6π/(π + 4). El numerador y el denominador llevan el factor 32π; al sacarlo queda 6π sobre 4 + π, que ya no se puede reducir más.
La respuesta es −x²y + 7xy. El −3 debe distribuirse sobre AMBOS términos, y convierte −xy en +3xy; ese es el paso que fallan casi todas las soluciones, que terminan con −xy en lugar de +7xy.
El cociente se simplifica a 7y⁵/(4x³). Reduce 28/16 a 7/4, resta los exponentes para obtener x⁻³ e y⁵, y luego baja el x⁻³ al denominador para terminar.
La expresión simplificada es a²b − ab² + b² − 2b. El signo menos delante del segundo paréntesis invierte todos los signos de su interior antes de agrupar los términos semejantes.
La forma simplificada es 3x³ + x² + 2x − 6. Solo los dos términos cúbicos son semejantes, así que suman 3x³, mientras que los términos en x², en x y el término independiente quedan intactos.
El resultado es (x+3)/(x+1). Se desarrolla y se reúne el numerador en x² + x − 6, se factoriza como (x+3)(x−2) y se cancela el (x−2) común con el denominador.
El resultado es √3·∛4/4. Saca el 2 de √12 y el 3 de ∛54, y después multiplica por ∛4/∛4, porque una raíz cúbica necesita dos factores extra.
El cociente vale 3⁵ = 243. Se reescriben 27, 9 y 81 como potencias de 3, se suman los exponentes arriba y abajo y luego se restan: 22 − 17 = 5, así que el valor es 243.
Respuesta: 3a, válido para a distinto de 0. Separa el coeficiente, resta los exponentes para que a²/a = a¹, y observa por qué la expresión original exige un denominador no nulo.
La respuesta es 12x + 5. Distribuir el 4 da 12x + 20, y solo se combinan las constantes, ya que 20 y −15 son términos semejantes mientras que el término 12x no tiene pareja.
La respuesta es 4d/a⁹. Sumar los exponentes −10 y 1 da a⁻⁹, y un exponente negativo significa que ese factor pasa al denominador.
La respuesta es 15 − 8i. El primer radical es un 15 real, mientras que √(−64) primero debe reescribirse como 8i usando i = √(−1), nunca como un −8 real.
La forma simplificada es 57x − 40. Distribuye el 5 sobre los dos términos del paréntesis y después suma 45x con 12x: solo se pueden sumar los términos semejantes.
El resultado es −3x² + 34x − 13. Se distribuye el −4 sobre los tres términos: −12 + 32x − 8x². Después se agrupa: 5x² − 8x² = −3x², 2x + 32x = 34x y −1 − 12 = −13.
La respuesta es 3x + 12. Distribuye el 6 entre los dos términos del paréntesis para obtener 6x + 12, y luego combina los términos semejantes 6x y -3x en un solo 3x.
La respuesta es 6(x−1)/(x(x²+10x+1)). Se saca 6 arriba, se extrae x abajo y al desarrollar dentro queda x²+10x+1, que no tiene el factor x−1, así que la fracción ya está en su mínima expresión.
El resultado es 3(x − y)²(x + y). Como y − x = −(x − y), el cubo impar cambia de signo y da −3(x − y)³; a partir de ahí, 3(x − y)² es factor común de los dos términos.
La respuesta es 77x⁵y². Se multiplican las constantes hasta 77 y luego se suman los exponentes de las bases iguales: tres factores x sueltos y un x² dan x⁵, y los dos factores y dan y².
La forma simplificada es 13f + 12. Al distribuir queda 7f + 28 + 6f − 16, así que los términos en f suman 13f mientras que las constantes 28 y −16 dan 12.
La respuesta es simplemente y. Al distribuir el −3 aparece −6y + 3z, así que los términos en z se cancelan por completo y de toda la expresión solo sobrevive 7y − 6y.
La forma simplificada es 27y - 109. Quita primero el paréntesis interior para llegar a 8 - 9[13 - 3y] y luego distribuye -9 entre los dos términos para obtener 27y - 109.
La forma simplificada es 52y − 11. Se distribuyen el 8 y el 3 sobre sus paréntesis para obtener 40y − 32 + 12y + 21, y después se combinan por separado los términos en y y las constantes.
La expresión se reduce a x² − 16y² = (x − 4y)(x + 4y). Los dos términos en xy se cancelan exactamente, y esa cancelación es la que deja una diferencia de cuadrados limpia.
La forma simplificada es 2a/b. Se dividen los coeficientes, 8/4 = 2, y luego se restan exponentes: a^(2−1) = a se queda arriba mientras que b^(1−2) = b^(−1) pasa abajo.
El resultado es 8m² + 20mn + 8n² = 4(m + 2n)(2m + n). Escribir 9(m+n)² como (3m+3n)² convierte toda la expresión en una simple diferencia de dos cuadrados.
El resultado es (y − 4)/(y + 1). Se factorizan las cuatro cuadráticas: (3y − 1)(2y + 1), (2y + 1)², (3y − 1)(y + 1) y (2y + 1)(y − 4); al invertir la fracción de abajo se cancelan todos los factores salvo ese cociente.
El resultado es 2(x+1)(x³ - 2x² - 3x - 2). Factorizar x² - 9 permite cancelar x + 3, y después (x+1) resulta ser factor común de los cuatro términos.
La expresión se reduce a 8x² + 12x + 4 = 4(x + 1)(2x + 1). Todos los términos cúbicos se cancelan, así que una expresión de grado 3 se simplifica a una cuadrática.
El paréntesis se reduce a −8a/(a² − 4). Dividir entre 12a²/(4 − a²) es multiplicar por (4 − a²)/(12a²), y las dos cuadráticas de signo opuesto se cancelan y dejan 2/(3a).
El corchete se reduce a 4t, así que la primera fracción es 32t/(1−t²)² y la expresión completa se escribe como una sola fracción sobre (1−t²)²(1+t²)².
La respuesta es (x−y)²(x+y)(x+y−1). Como (y−x)² es igual a (x−y)², ambos términos comparten (x−y)²(x+y), y al sacarlo queda el sencillo paréntesis (x+y) − 1.
El resultado es (a + 2b)². Al desarrollar queda a² − 4ab + 4b², y sumar 8ab convierte el término central de −4ab en +4ab, lo que invierte el signo dentro del cuadrado.
Toda la expresión se simplifica a 1. El denominador es el cuadrado perfecto (√a + √b)² y el numerador es una diferencia de cuadrados en √a y √b.
La expresión se reduce a 2 − a − 2b. El paréntesis interior se convierte en (2a+b)/(a+b), y su recíproco cancela de golpe tanto (a+b) como (2a+b).
La respuesta es (a − x²)/x, válida para x distinto de cero. Se reescribe la x suelta como x²/x para que ambos términos compartan denominador y luego se restan los numeradores en un solo paso.
La respuesta es 6√3·x^(62/21)/(35y^(3/2)). Convierte cada radical en un exponente fraccionario, reúne las constantes en 18/(35√3) y después suma los exponentes base por base.
La respuesta es 1/(x²⁰y²⁴z¹²). Se restan los exponentes dentro del paréntesis para llegar a x¹⁰y¹²z⁶, se multiplica cada uno por −2 y luego se pasan al denominador.
El valor es 1/2. Sacar 2⁸ como factor común del numerador y 2⁹ del denominador deja 7·2⁸ sobre 7·2⁹, así que los sietes se cancelan y las potencias dan 2⁻¹.
La respuesta es p⁸/(m⁹n¹⁰). Se resta el exponente de abajo al de arriba para cada letra y después se pasa al otro lado de la raya de fracción todo resultado negativo.
La respuesta es m^8/(256 n^44). Se divide dentro para llegar a −4m^−2n^11 y se eleva cada factor a −4; la base negativa con exponente par queda positiva.
El resultado es (b² + b√b + 2b − 3√b + 1)/(b + √b − 1). Invierte el exponente negativo, toma x = √b para que todas las potencias sean polinómicas, cancela x + 1 y después suma 2√b.
La respuesta es 1. Toda cantidad no nula elevada a la potencia 0 vale 1, así que aquí no hace falta simplificar en ningún momento la fracción de exponentes negativos.
Toda la expresión se reduce a a⁴b. Se factoriza ab, se aplica la identidad de la suma de los cubos, se distribuye y los términos ab⁴ se cancelan exactamente.
La respuesta es ∛(ab)/(∛a + ∛b). Tomando x = ∛a e y = ∛b el denominador se convierte en (x + y)²/(xy), así que el cociente se reduce a xy/(x + y) tras cancelar x + y.
El cociente se simplifica a 3x. Una los dos radicales de índice 5 en uno solo, reduzca 729x⁶/(3x) a 243x⁵ y reconozca 243x⁵ como una quinta potencia perfecta.
Se convierte en (L − R)(L + R)/(H + R), y nada se cancela salvo que H = L, caso en el que se reduce a L − R. Letras distintas nunca se cancelan entre sí.
El resultado simplificado es 9x − 8, la opción (A). Distribuir −1/5 da x − 2, distribuir −2 da 8x − 6 y al reducir términos semejantes queda 9x − 8; se verifica en x = 0, 1 y 3.
Respuesta: f(x) = -x - 289/x con x distinto de 0. Separa la fracción única en dos términos, cancela un factor x y enuncia la restricción del dominio.
La forma simplificada es −80v + 40, o bien 40(1 − 2v). Distribuir el −10 da −90v + 40, y sumar el 10v suelto deja −80v con la constante sin cambios.
La expresión se simplifica a −125b²⁴/a¹⁸. Reduzca primero dentro del paréntesis con la regla del cociente y después eleve al cubo el coeficiente y multiplique cada exponente por 3.
La respuesta es −243x¹⁰y²⁰, no el −27x¹⁰y²⁰ que suele escribirse. Hay que elevar cada factor a la quinta potencia: (−3)⁵ = −243, y multiplicar por 5 los exponentes 2 y 4.
La forma simplificada es −9q + 11r. Dos de los tres agrupamientos llevan un multiplicador negativo, así que todos los términos de dentro cambian de signo antes de agrupar los términos semejantes.
Toda la expresión se reduce a a. Se combina cada paréntesis sobre a+b, se invierte el segundo por el exponente −1, se cancela y luego se resta el 3b final.
El resultado es 4 − √3. Al distribuir √2 queda 2√12 − √16 = 4√3 − 4, y después 3√3 − (4√3 − 4) = 4 − √3.
El resultado es 3x√7. Combinar bajo un solo radical da √(63x²), y 63 = 9 × 7 libera un factor 3 mientras que x² libera x.
Tras simplificar y racionalizar, la expresión es −√3 + 2√5, así que a = −1, b = 2 y a + b = 1.
El resultado es 2x⁵√(6x). Una los dos radicales en uno solo, divida dentro para obtener 24x¹¹ y extraiga los factores cuadrados perfectos 4 y x¹⁰.
Las tres piezas valen 17, 7 y 24, así que la expresión completa vale 0. Ojo: √((−7)²) = 7, no −7, y (−2√6)² = 24, no −24.
El resultado es 1/(√a − 1). Escribe a − 1 como (√a − 1)(√a + 1); el factor común √a + 1 se cancela y queda 1/(√a − 1) para a ≥ 0 con a distinto de 1.
La forma simplificada es x√x. Separa x³ en x² por x, aplica la regla √(ab) = √a·√b y usa √(x²) = x porque x no es negativo.
La expresión se reduce a −4x² + 12x = 4x(3 − x). Cambiar el último término de 2(x + 1)³ a 2(x − 1)³ cambia por completo la respuesta, que antes era 8x² + 12x + 4.
El resultado es 2|xy|√(5z)/z³. Extrae las potencias pares, conserva los valores absolutos en las variables de raíz impar y luego racionaliza el √z que queda en el denominador.
La forma simplificada es 9|x| por √5. Se factoriza 405 como 81 por 5, se separa el radical y se conservan las barras de valor absoluto porque √(x²) es igual a |x|.
La forma simplificada es 2i√35. Saca primero la unidad imaginaria para obtener i√140, después separa 140 como 4 por 35 y extrae la raíz de 4.
El resultado es −2a² + 7a/10. Los términos en a² se combinan dando 1 − 3 = −2, y los términos en a necesitan primero un común denominador: 3/2 − 4/5 = 15/10 − 8/10 = 7/10.
La expresión vale la constante 64. Tomando a = 3x²+4 y b = 3x²-4 se convierte en (a-b)², y a-b = 8, así que toda potencia de x desaparece de la respuesta.
La forma simplificada es 0.055x − 3010. Al desarrollar queda 78000 × 0.055 = 4290, y 1280 − 4290 deja la constante −3010.
La respuesta es 2x² + 3x + 17. Los dos términos cúbicos se cancelan y la diferencia de cuadrados aporta −x² + 16, así que al final solo sobrevive una cuadrática.
La respuesta es 1.76566975(x + 1). Se agrupan los factores repetidos como 1.15² y 1.3², se multiplican las constantes en un solo multiplicador y luego se distribuye si se quiere la forma lineal.
Toda la expresión se reduce a 36x. Desarrolla los dos cubos para que los términos en x² se cancelen por parejas, trata aparte el producto con −3x y observa cómo desaparecen todos los términos en x³.
El resultado es x² − 6. Al desarrollar el producto queda x² − x − 6, y el +x suelto cancela exactamente el −x, dejando un binomio sin ningún término lineal.
Toda la expresión se reduce a la constante 25. Reconoce A² + B² − 2AB = (A − B)², resta los dos paréntesis y observa por qué se cancelan todas las potencias de x.
Respuesta: 0 para todo x. Desarrollar (x+4)² da exactamente x² + 8x + 16, así que el paréntesis resta el mismo trinomio término a término y todo se cancela.
La forma desarrollada es x² − y² + 4y − 4, que se reagrupa como x² − (y−2)² y factoriza en (x−y+2)(x+y−2): una segunda diferencia de cuadrados escondida dentro.
El resultado es x² − 2y. El primer producto es la diferencia de cuadrados x² − y², y el −y² se cancela contra el +y² que sale de desarrollar y(y − 2).
El resultado es x²/4 − 3x√5 − 15. Elevar el paréntesis al cuadrado da x²/4 + x√5 + 5, y al triplicarlo y restarlo solo queda una cuarta parte del término en x².
Se simplifica a x − 3, válido para x distinto de −3. Factorizar x² − 9 como (x − 3)(x + 3) deja a la vista el factor común, pero la expresión original no está definida en x = −3.
Distribuir el -3 da -3x² - 3xy + 6y, así que las tres familias se combinan en -2x², -4xy y +7y. Atención al término -3 por -2y = +6y.
La respuesta es x² + 10. La potencia 3² es un número, no un término con variable, así que pasa a ser 9 y luego se junta con el 1, mientras que x² queda aparte.
El resultado es (x+5)/(x+2), con x ≠ 2 y x ≠ −2. Factorice los dos polinomios, cancele el (x−2) común y conserve la restricción que deja atrás el factor cancelado.
El resultado es x^(−ab), equivalente a 1/x^(ab). La regla de la potencia de una potencia multiplica los exponentes, y el signo negativo manda toda la expresión al denominador.
La pendiente es m = −8. Reste las coordenadas y para obtener −8, reste las x para obtener 1 y divida; ese valor negativo tan grande dice que la recta baja 8 unidades por cada paso hacia la derecha.
La pendiente es m = 2. Al sustituir en (y2 − y1)/(x2 − x1) queda (4 − (−4))/(6 − 2) = 8/4, donde el doble negativo del numerador se convierte en suma.
La pendiente es m = 1. La fórmula da (7 − 5)/(10 − 8) = 2/2 = 1, así que la variación vertical y la horizontal son iguales y la recta forma un ángulo de 45 grados con el eje x.
La respuesta es m = −1/3. El ascenso es +1 y el avance es −3, así que el signo negativo proviene solo del denominador, y no de ninguna de las coordenadas negativas.
La respuesta es 17. Se pasa 2 log5(√x + 2) a log5 de un cuadrado, se quitan los logaritmos porque la base 5 > 1 y las x se cancelan: 28 < 7√x, luego x > 16.
Los enteros son 31, 32 y 33, así que el menor es 31. Toma el primero como x y resuelve 3x + 3 = 96 para obtener x = 31, que ya es la respuesta que pide la pregunta.
La única solución es (4, 0). Con la sustitución u = x − 2 queda 2/u + 3 = 2|u|; el caso positivo da u = 2 y el caso negativo no tiene ninguna raíz real.
Las raíces −1/2 y 1/3 dan p = 1/6 y q = −1/6. Al sustituir, la segunda inecuación se convierte en x² − x − 6 < 0, cuyo conjunto solución es (−2, 3).
x = 87870/0.30 = 292900 exactamente. Los términos idénticos se combinan en 0.30x y, como 878700 es divisible entre 3, la respuesta es un número entero sin ningún redondeo.
x = 963. Escribir 0.6 como 27/45 y 5/9 como 25/45 muestra que los dos coeficientes de x difieren solo en 2/45, así que la diferencia constante de 42.8 se amplifica 22.5 veces.
x = 52500. Dividir entre 0.8 da 1 + x/10000 = 6.25, restar 1 deja x/10000 = 5.25, y multiplicar por 10000 lo termina. Comprobación: 0.8 × 6.25 = 5 exactamente.
x = 87870/1.7 = 878700/17 = 51688.24 redondeado a dos decimales. Los dos términos idénticos suman 1.7x, y el cociente exacto 51688 + 4/17 no termina nunca.
La respuesta es x = 2,505,589.39. Se divide entre 2 el lado derecho hasta 1,625,000, se multiplican 0.85, 1.09 y 0.7 en el único factor 0.64855 y luego se divide para recuperar x.
La respuesta es x = 2,063,426.56. Reduce el miembro derecho a 1,625,000, junta los tres multiplicadores en 0.787525 y divide: es una cadena de dos descuentos y un recargo.
La respuesta es x = 2500/39, cerca de 64.103. Dividir entre 0.78 es lo mismo que multiplicar por 50/39, lo que mantiene la respuesta exacta en lugar de dejar un decimal redondeado.
La respuesta es x = 100. Dividir primero entre 0.8 da x + 100 = 200 en un solo paso, lo que es más rápido y limpio que distribuir el 0.8 dentro del paréntesis.
La solución es x = 325. Se suma 100 a ambos lados para llegar a 0.8x = 260 y después se divide todo entre 0.8 — o, de forma equivalente, se multiplica por 5/4, ya que 0.8 es la fracción 4/5.
La respuesta es X = 1900. Sume primero 1200 para llegar a 0.8X = 1520 y después divida; dividir entre 0.8 es lo mismo que multiplicar por 1.25, así que el valor crece.
La solución es x = 800. Al sumar 400 queda 0.8x = 640, y como 0.8 equivale a 4/5, multiplicar 640 por 5/4 da la respuesta sin tener que dividir entre decimales.
La respuesta es x = 2254. Los dos términos en x se diferencian solo en 0.01x, así que la constante 22.54 se divide entre 0.01: una brecha de un uno por ciento multiplica la raíz por cien.
Respuesta: C = 1.35 + 0.15B y B = (C − 1.35)/0.15. Se suma 0.15B para despejar C; para obtener B se pasa C al otro lado, se divide entre −0.15 y hay que vigilar el signo.
Respuesta: X = 225. Desarrolla 1.8(X + 100) hasta 1.8X + 180, combina términos semejantes para llegar a 0.8X - 20 = 160, suma 20 en ambos lados y luego divide entre 0.8.
La solución es x > −2. Multiplicar por 6 convierte la desigualdad en 6 − 3(x + 6) < 2(2x + 1), que al agrupar términos se reduce a −14 < 7x.
x = −175.86. Como 2.7421 es mayor que 2.7, la diferencia de recíprocos es negativa, así que 1/x = −0.0421/7.40367 y x tiene que salir negativo.
x = 16.2196, no 16.2214. Al despejar 1/x queda (3.3 − 2.7421)/(2.7421 · 3.3) = 0.5579/9.04893, e invertir ese único cociente termina el problema.
x = 17.7272. Al despejar 1/x queda (3.3 − 2.7821)/(2.7821 × 3.3) = 0.5179/9.18093, y tomar el recíproco de esa fracción da la respuesta directamente.
x = 1. Cuando dos fracciones unitarias son iguales y ningún denominador es cero, los denominadores deben coincidir, así que 3x + 11 = 9x + 5 y ambos terminan valiendo 14.
La respuesta es x = −1.3. Multiplicar en cruz da 1 = 30x + 40, de donde 30x = −39; la raíz evita el valor excluido x = −4/3.
La solución es y = x/(8x − 1), con x distinto de 0 y x distinto de 1/8. Al combinar las fracciones queda x + y = 8xy, y agrupar los términos en y permite sacarla como factor común.
La solución es x = 1, y = −1/2. Tomar a = 1/x y b = 1/y convierte un sistema no lineal en uno lineal corriente, que la eliminación resuelve en dos líneas.
Ambos denominadores se reducen a x² + 4x más una constante, así que con v = x² + 4x queda v² + 8v + 7 = 0. Solo v = −1 produce x reales, a saber −2 ± √3.
Como x(x+2) = (x+1)² − 1, tomar u = (x+1)² convierte la ecuación en 1/(u−1) − 1/u = 1/12, es decir, u² − u − 12 = 0. Solo u = 4 es admisible, y da x = 1 o x = −3.
x > 2, es decir el intervalo (2, infinito). Multiplicar por el 3 positivo da 1 + x < 3x − 3, y al agrupar términos queda 4 < 2x sin que el sentido cambie.
Las soluciones reales son x = 0 y x = 0.0156549. Detectar la raíz visible x = 0 y localizar el único mínimo en x = 0.0079085 demuestra que hay exactamente dos.
La solución es x = 0.9. Multiplicar por 1 no cambia nada, así que la ecuación es simplemente 1 − x = 0.1, que es lineal y tiene exactamente una solución.
La solución es x < 5. Pasar los términos en x al lado derecho deja el coeficiente positivo, así que la división final entre 2 no cambia el sentido de la desigualdad.
Ambos denominadores se desarrollan en x² + 6x más una constante, así que u = x² + 6x convierte la ecuación en 12/(u+5) + 15/(u+8) = 2, es decir 2u² − u − 91 = 0 con u = 7 o −13/2.
x = 104022.99. Distribuir primero el paréntesis del 13 % convierte la ecuación en 139732000 = 1343.28x, una sola división en cuanto todos los términos en x quedan del mismo lado.
x = 103254.32. Como en la izquierda solo queda suelto 2.72x, el coeficiente reunido es 1353.28, y una sola división termina el problema.
Respuesta: x = 12,110.83. Se evalúa 12812 × 1.0398 = 13,321.9176, se elimina el denominador para llegar a 13,321.9176 = 1.1x y se divide entre 1.1 para quitar el margen del 10%.
Las raíces son x = 0, x = 1 y x = −4/3. Combine primero los dos términos cúbicos, saque el factor común 4x y factorice la cuadrática que queda, 3x² + x − 4.
La solución es x = 13. Se suma el numerador hasta 169, se multiplican ambos lados por x para llegar a 13x = 169 y luego se divide entre 13, ya que 169 = 13 al cuadrado.
La respuesta es x = 96/7, alrededor de 13.714. Al sumar queda 192/x = 14, y después hay que simplificar 192/14 por el factor común 2 para llegar a la fracción irreducible.
La respuesta es t = 8. Distribuir −4 sobre (t − 5) da +20, no −20; ese signo es donde se tuercen casi todos los intentos con esta ecuación.
La respuesta es x = 6960. Suma primero el numerador para llegar a 348/x = 0.05 y luego multiplica en cruz: dividir entre 0.05 es lo mismo que multiplicar por 20.
Todo número real es solución. Tras distribuir el signo menos, los dos lados se reducen a 8x + 2, así que la ecuación es una identidad con infinitas soluciones.
La respuesta es x = 317/7.8 = 1585/39, alrededor de 40.64. Sume primero el numerador y después multiplique en cruz; note además que el decimal nunca termina.
La respuesta es x = 3200/3, unos 1066.67. Se reescribe 1.5 como 3/2 y se multiplica 1600 por el recíproco 2/3; el decimal es periódico, así que la fracción es la respuesta exacta.
La respuesta es x = 202.31 (exactamente 176.0096/0.87). Simplifica la constante hasta 176.0096, agrupa los términos en x en 0.87x y después divide para recuperar el total bruto.
Respuesta: x = 202,309,885.06. Se evalúa la constante como 176,009,600, se resta 0.13x en ambos miembros para llegar a 0.87x y luego se divide entre 0.87 para escalar la base al total.
x = 16939/1.923 = 8808.63. Multiplicar por x y sumar x convierte la ecuación en 16939 = 1.923x, que es la regla x = total / (1 + razón) disfrazada.
La respuesta es [−4, −3) ∪ (1, 2]. La desigualdad exterior da dos semirrectas y la interior una franja, y la intersección son dos intervalos cortos.
x = −52/5, es decir −10.4. Al multiplicar por x + 10 queda 2 = −5x − 50, y la raíz se contrasta con el valor excluido x = −10 antes de aceptarla.
La respuesta es k = mg·tan(α)/(4π²(R·sen α − a)). Saca 2πk como factor común del miembro izquierdo y divide, de modo que los dos factores 2π se combinan en 4π².
La solución es x = −3. El miembro izquierdo es pura aritmética: 5 − 8 = −3 y 2 + (−3) = −1, así que −1 = 2 + x, y restar 2 en ambos miembros da x = −3.
Aquí x² + 1/x² = t² + 2 (ojo: MÁS 2), así que la ecuación queda 2t² − 11t + 12 = 0 con t = 4 o 3/2, lo que da las cuatro raíces 2 ± √5, 2 y −1/2.
La respuesta es x ≈ 1.71562. Mezclar una exponencial con un término lineal no admite forma cerrada, así que hay que acotar la raíz entre 1 y 2 y bisecar hasta que converja.
La solución es x ≤ 0 o x ≥ 2 con x ≠ 3. Sustituir t = 2ˣ convierte el segundo denominador en el cuadrado perfecto (t − 8)², y la desigualdad en (u + 4)(u + 7) ≥ 0.
La respuesta es x = 10. Desarrollar da 320 - 20x = 240 - 12x, de donde 80 = 8x; quitar 10 de cada paréntesis hace que las dos cantidades ponderadas se equilibren en 120.
La respuesta es x = 5/7. Quitar el paréntesis convierte −(4x + 2) en −4x − 2, lo que da 16x − 4 = 6 + 2x, así que 14x = 10 y la fracción 10/14 se reduce a 5/7.
La respuesta es x = 10/3, alrededor de 3.33. Al combinar queda 30x = 100, y 100/30 hay que reducirlo por el factor común 10 en lugar de dejarlo tal cual.
La solución es x = 121/2, exactamente 60.5. Se reducen los términos semejantes hasta 30x = 1815 y luego se cancela el factor común 15 del numerador y del denominador.
La solución es x = 200/3, alrededor de 66.67. Al agrupar los términos semejantes queda 30x = 2000, y 2000/30 se simplifica a 200/3, que no tiene forma decimal exacta.
Las soluciones son x = (−34 + √2941)/21 y x = (−34 − √2941)/21. Ningún par de enteros multiplica a −1785 y suma 68, así que hace falta la fórmula general.
Respuesta: X = -10.26. Simplifica el coeficiente a 500/27, resta 2210 para llegar a 190 = -(500/27)X, y el signo negativo se mantiene porque 2400 supera a 2210.
La respuesta es x = 16. Se suma el numerador para llegar a 400/x = 25 y luego se multiplica en cruz - la respuesta cuenta cuántas partes enteras de tamaño 25 caben en 400.
La respuesta es t = 20. Al restar 100t queda 150t = 3000, así que la tasa más rápida necesita 20 unidades de tiempo para superar una ventaja fija de 3000.
La respuesta es x = 5120/3, alrededor de 1706.67. Como 1.5 = 3/2, dividir entre 1.5 es lo mismo que multiplicar por 2/3, lo que conserva la respuesta como un decimal periódico exacto.
Las soluciones son x = (−1 + √7)/5 y x = (−1 − √7)/5. El discriminante vale 700, y sacar √100 convierte 10√7 sobre 50 en la forma reducida.
Respuestas reales: x = ±√((√5 - 1)/5), alrededor de 0.497. La sustitución u = x² da u = (-1 ± √5)/5, y la raíz negativa produce dos soluciones imaginarias.
Respuesta: x = 2/3, una raíz triple. El lado izquierdo es exactamente (3x − 2)³, ya que 27x³ = (3x)³ y 8 = 2³, con los términos centrales coincidiendo con −3a²b y +3ab².
Respuesta: x = 216.809. La fracción 0.05/0.95 se reduce exactamente a 1/19, así que la ecuación colapsa en 228.22 = (20/19)x y queda x = 228.22 por 19/20.
x = 298/13 = 22.9231. Al reunir términos queda 1.3x = 29.8, y al quitar los decimales se ve que el valor exacto es 298/13, un decimal no finito.
La respuesta es x ≈ 281.46. Al agrupar los términos en x queda 1.01543461x = 285.8, porque la fracción de la comisión 0.0152/0.9848 no es más que otro coeficiente de x.
Respuesta: x = 294.9308, no el 111.241 que a veces se cita. Los dos factores del 1.52% se multiplican entre sí, así que el coeficiente es apenas 0.00023461 y x casi no se mueve de 295.
x = 2981/5.3043 = 562.00. Sumar x a ambos lados da 2981 = 5.3043x, así que x = total / (1 + razón); el resto, 2419.00, es entonces exactamente 4.3043 veces x.
Las respuestas son x = 1 y x = 2. Una recta puede cortar a lo sumo dos veces a una curva exponencial convexa, así que una vez halladas las dos raíces enteras la búsqueda queda demostrablemente completa.
Las raíces son x = 1 y x = 1/3. Se reconoce (2x − 1)² − x² como la diferencia de cuadrados a² − b², se factoriza en (x − 1)(3x − 1) y se usa la propiedad del producto nulo.
x = 1/2 o x = −7/3. La ecuación ya está factorizada, así que basta con igualar a cero cada paréntesis por separado y resolver las dos ecuaciones lineales que resultan.
La solución es x ≤ 4, es decir (−∞, 4]. Se suma 3 para deshacer la resta y luego se divide entre el 2 positivo, lo que deja intacto el sentido de la desigualdad.
Las soluciones son x = 2 y x = 4/3. Los dos términos ya son cuadrados, así que factorizar como (A − B)(A + B) da directamente los dos factores lineales x − 2 y 3x − 4.
La respuesta es x < 51/28, aproximadamente 1.8214. Multiplicar cada término por el m.c.m. 12 elimina las dos fracciones de una vez y la convierte en 24x − 15 < 36 − 4x.
La solución es x > −1/2. Multiplicar por el m.c.m. 12 elimina las dos fracciones de una vez y, como 12 es positivo, el signo de la desigualdad nunca se invierte.
La solución es x > −4. Tras desarrollar el paréntesis, los términos en x se agrupan a la derecha y queda −4 < x, que basta con releer escribiendo la variable primero.
La solución es x < 7/10, es decir 0.7. Agrupa los términos en x a la izquierda y las fracciones a la derecha, y suma 1/2 y 1/5 sobre el denominador común 10.
La solución es x ≤ 0. El paréntesis va precedido de un signo menos, así que los dos términos de dentro cambian de signo y queda 2x − x + 1, que se reduce a x + 1 ≤ 1.
La respuesta es x > 5. Resta x para dejar x + 1 > 6 y después resta 1; en la frontera x = 5 los dos miembros valen 11, así que queda correctamente excluida.
La respuesta es x > 6. Resta x en los dos miembros para dejar x + 1 > 7 y después resta 1; como no aparece ningún divisor negativo, el signo nunca se invierte.
La respuesta es x = 72.3. Calcula 13×18 = 234 y 6×4.4 = 26.4 antes de tocar la x, y la ecuación se reduce de golpe a 2x + 260.4 = 405.
La respuesta es x = 4. Resta 2 en los dos miembros para obtener 2x = 8 y después divide entre 2; deshacer la suma antes que la multiplicación es lo que lo mantiene sencillo.
La solución es x = −mu/(2(1 + lambda)) cuando lambda ≠ −1. Si lambda = −1 los términos en x se cancelan y no hay solución, salvo que mu sea 0, en cuyo caso sirve cualquier x.
La solución es x = −μ/(2(1 + λ)) siempre que λ ≠ −1. Si λ = −1 los términos en x desaparecen: cualquier x real sirve cuando μ = 0, y no hay solución cuando μ ≠ 0.
x = 2. Al desarrollar (2x + 3)² los términos 4x² se cancelan, así que la ecuación que parecía de segundo grado se reduce a la ecuación lineal 12x + 9 = 51 − 9x.
La solución es x = 2, y = 1. Despeja x = y + 1 en la segunda ecuación, sustituye en la primera para obtener 5y + 2 = 7 y vuelve atrás para recuperar x.
La solución es x = 4. Restar 5 en los dos miembros da 2x = 8, dividir entre 2 da x = 4, y al sustituir de vuelta se obtiene exactamente 13.
Las respuestas son x = (1 + √3)/2 y x = (1 − √3)/2. El discriminante 12 no es un cuadrado perfecto, así que las raíces son irracionales y factorizar no puede funcionar.
Las soluciones son x = 1 y x = 3/2. Con coeficiente principal 2, separa −5x usando dos factores de 2 por 3 = 6 que sumen −5, es decir −2 y −3.
Las raíces son x = 3 y x = −5/2. Busca dos números con producto ac = −30 y suma −1 (son 5 y −6), separa el término central y factoriza por agrupación.
Las raíces son x = 2 y x = −3/2. Busca dos números con producto ac = −12 y suma −1, que son 3 y −4, separa −x en 3x − 4x y factoriza por agrupación como (2x + 3)(x − 2).
La solución es x < −1 o x > 1/2. Factorizar 2x² + x − 1 como (2x − 1)(x + 1) deja a la vista las dos raíces, y una parábola abierta hacia arriba es positiva fuera de ellas.
La respuesta es y ≤ (40 − 3.8x)/7.7, aproximadamente y ≤ 5.19 − 0.49x. Dividir entre 7.7, que es positivo, conserva el sentido, así que la región queda por debajo de la recta frontera.
La respuesta es x > log en base 4 de 3 × 10^9, unos 15.74, así que el menor entero es 16. Como 4^x siempre es positivo, no se invierte ningún signo de desigualdad.
La respuesta es x = −10/7, es decir unos −1.4286. Distribuir el −2 sobre (2 − 5x) da −4 + 10x, así que la ecuación queda 3x − 9 = 1 + 10x y de ahí −10 = 7x.
Las respuestas son x = 27 exacta y x ≈ 1.15082. Tomando logaritmos la ecuación se reduce a ln(x)/x = ln(3)/9, una curva que corta dos veces a una recta horizontal.
La solución es x < 0.0000020000004 o x > 14.3704368. La función convexa 3^x − 500001x baja por debajo de cero una sola vez, así que la recta se cruza en exactamente dos puntos.
La respuesta es x = 5 + 3^(49/32), unos 10.3776. Aísla primero el logaritmo, pasa a forma exponencial y confirma que x > 5 para que el logaritmo esté definido.
La respuesta es x = 5.455/32.63, unos 0.16718. Resta primero la constante y después divide: dos operaciones, y en ningún momento hace falta quitar los decimales.
La respuesta es x = 10.455/32.63 = 0.32041, que redondeado da 0.3204, no 0.3203. La quinta cifra decimal es un 1, así que la cuarta se redondea hacia abajo.
La solución es X = 27. Multiplicar en cruz da 3150 + 54X = 7200 − 96X, así que 150X = 4050; los dos miembros de la ecuación original valen entonces 32.
La solución es −1 < k < 1. Dividir entre 36, que es positivo, deja 1 − k² > 0, y k² < 1 significa que k está estrictamente a menos de una unidad del cero en la recta.
x = 1800 + 900√7 = 4181.18 o x = 1800 − 900√7 = −581.18. El discriminante 22680000 es igual a (1800√7)², así que las dos raíces se simplifican de forma limpia.
Las soluciones son a = −3 y a = −5. Pasa el −45 al otro lado, divide toda la ecuación entre el factor común 3 y factoriza a² + 8a + 15 como (a + 3)(a + 5).
Las raíces son x = 0, x = −2 (doble) y x = 4/3. La agrupación falla en esta cuártica; la raíz racional x = −2 y la división dan la factorización verdadera.
La única solución es x = 4/9. Los dos productos contienen 9x², así que al desarrollar los términos cuadráticos se cancelan y lo que parecía una ecuación de segundo grado es en realidad lineal.
Respuesta: no hay solución entera; las raíces reales son x = 8 ± (14) elevado a 1/4 dividido entre 3, es decir unos 8.6448 y 7.3552. Dividir entre 7³ deja (3x − 24)⁴ = 14, que no es una cuarta potencia.
La solución es x ≥ 1. Sumar los coeficientes 3 y −2 deja una sola x, así que la inecuación se reduce a x − 1 ≥ 0 y solo hace falta un paso más.
La solución es x > 1. Distribuye el 2 sobre x − 2 para obtener 2x − 4, resta 2x en los dos miembros y la x que queda no hay ni que dividirla.
Respuesta: x = 3, una raíz doble. Con u = 3x − 5 la ecuación es u² − 8u + 16 = (u − 4)² = 0, así que u = 4 y 3x = 9.
Las soluciones son x = (5 + √43)/3 y x = (5 − √43)/3. Multiplicar todo por x convierte la ecuación racional en la cuadrática 3x² − 10x − 6 = 0.
La solución es x > 15. Al restar 2x queda un coeficiente de exactamente 1, así que tras pasar la constante 15 al otro lado la respuesta se lee directamente.
La respuesta es x < 4. Multiplicar todo por 4 da 3x + 4 > 8x − 16, y agrupar en el miembro derecho evita tener que dividir alguna vez entre un número negativo.
La respuesta es x = 10, y no 25/3. El segundo miembro vale 35, así que 3x = 30: las constantes iguales de los dos lados se cancelan y nunca entran en la división.
La respuesta es x = −7, la única solución. El segundo miembro nunca puede ser positivo, así que 3x + 5 ≤ 0 obliga a x ≤ −5/3 y solo hay que estudiar un caso.
La solución es x = 5. Resta el 7 que se sumó al final, con lo que queda 3x = 15, divide entre el 3 que multiplicaba a x primero y sustituye de vuelta para comprobar.
La respuesta es x < 2/3. Resta 3x para que el coeficiente de x siga siendo positivo, resta 7 y divide entre 3: así no hace falta invertir el signo en ningún momento.
La respuesta es x < 3/4. Resta 3x para que el coeficiente siga siendo positivo, resta 6 hasta llegar a 3 > 4x, divide entre 4 y lee la desigualdad al revés.
Las respuestas son x = 4 y x = −4. Al no haber término central puedes aislar x² = 16 y sacar la raíz directamente, pero el signo más-menos es obligatorio.
x = 0 o x = 1/3. No hay término independiente, así que x es factor común; dividir en cambio los dos miembros entre x destruiría en silencio la raíz x = 0.
Las respuestas son x = (−5 + √97)/6 y x = (−5 − √97)/6. Como 97 es primo y no es un cuadrado perfecto, las raíces son irracionales y no se pueden obtener factorizando.
La solución es x < 0. Pon todos los términos sobre el común denominador 6, multiplica todo por 6, reduce términos semejantes hasta −12x > 0 y divide entre −12 invirtiendo el signo de la desigualdad.
Las raíces son x ≈ −3.1660 y x ≈ 2.9426. Su suma −0.2234 coincide con −b/a y su producto −9.3160 coincide con c/a, lo que valida las dos respuestas decimales a la vez.
Las raíces son x ≈ −2.6457 y x ≈ 2.5303. La forma canónica es −4.4912(x + 0.05769)² + 30.0809, así que x + 0.05769 = ±√(30.0809/4.4912) = ±2.5880 da las dos raíces.
Las raíces son x ≈ −2.1144 y x ≈ 2.0515. Multiplicar toda la ecuación por −1 da 4.6173x² + 0.2906x − 20.029 = 0, con lo que todos los signos de la fórmula general quedan positivos.
La solución es m < 7/3. Agrupa las constantes 4 y 3 en 7 y los términos con variable −2m y −m en −3m; después pasa −3m al otro lado para no tener que invertir el signo.
La respuesta es x = 1123/390 ≈ 2.879487. Resta 0.68175 y divide entre 4.9725; pasar a fracción evita el desliz de redondeo que lleva a 2.8791.
La respuesta es x = 77273/19890 ≈ 3.885018. Resta 0.68175 para llegar a 19.31825, divide entre 4.9725 y conserva la fracción exacta antes de redondear.
La solución es x > −7. En el miembro derecho, +6x y −6x se cancelan y solo queda la constante −12; al dividir entre −4 al final, el signo de la desigualdad se invierte.
La solución es x ≥ −6. Al desarrollar ambos miembros queda 4x + 4 ≥ 3x − 2; como solo se suma y se resta, el signo de la desigualdad no se invierte en ningún momento.
La solución es x = log₄ 80 ≈ 3.1610. Como 80 no es una potencia de 4, hay que tomar logaritmos y dividir ln 80 entre ln 4 para llegar a la forma exacta y a la decimal.
Las raíces son x = −25 ± 5√34, es decir, unos 4.154759 y −54.154759. Reúne 100x, divide la ecuación entre 2 hasta x² + 50x − 225 = 0 y aplica la fórmula general.
x = 3/10 o x = −11/4. El discriminante 14884 es 122², un cuadrado perfecto, así que las raíces son racionales y 40x² + 98x − 33 se factoriza como (10x − 3)(4x + 11).
La respuesta es x = 125/7, unos 17.857. Al dividir queda 750/42, y ambos números comparten el factor 6, así que la fracción se simplifica exactamente una vez y ahí se detiene.
Las raíces son x = 2.43 y x = 1.23. Pasa todo a un miembro para llegar a 3x² − 11x + 9 = 0 y aplica la fórmula general con discriminante 121 − 108 = 13.
x = 4402/73, unos 60.3014. Al repartir el signo menos queda 3.65x + 0.35 = 220.45, así que 3.65x = 220.10 y el cociente no es el número redondo 60.3.
x = 4405/73, unos 60.3425. Tras repartir el paréntesis la ecuación queda 3.65x + 0.35 = 220.6, así que 3.65x = 220.25 y la división da un decimal no exacto.
x = 4910/73, unos 67.2603. El paréntesis se desarrolla como −0.35x + 0.35 y deja 3.65x = 245.50; como 73 es primo, la respuesta sigue siendo un decimal no exacto.
La respuesta es x = 126618/1825 ≈ 69.379726. Al repartir −0.35 aparece +0.35, con lo que la ecuación se reduce a 3.65x + 0.35 = 253.586.
La respuesta es x = 55617/730 ≈ 76.187671. Tras repartir el paréntesis, la ecuación queda 3.65x + 0.35 = 278.435, así que x = 278.085/3.65.
x = 8. Al repartir queda −60 + 3x, así que la ecuación pasa a ser 7x − 60 = −4; sumando 60 y dividiendo entre 7 sale x = 8, y 32 − 36 = −4 lo confirma.
La respuesta es x = −8. Resta 4x para dejar la variable a la derecha, resta 9 y divide entre 2; como comprobación, los dos miembros valen −39.
La solución es x < 2. Sumar 2x a ambos lados deja 6x + 8 < 20, luego 6x < 12; al dividir entre 6, que es positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene.
La solución es cualquier número real excepto x = 1/2. El miembro izquierdo factoriza como el cuadrado perfecto (2x − 1)², que solo se anula en su raíz doble x = 1/2.
Las soluciones son x = (1 + √33)/8 y x = (1 − √33)/8. Como 33 = 3 × 11 es libre de cuadrados, el radical no se puede simplificar y la fracción se queda tal cual.
El discriminante es 256 − 112 = 144, un cuadrado perfecto, así que x = (−16 ± 12)/8 da −1/2 y −7/2; además la cuadrática factoriza como (2x+1)(2x+7).
Las dos soluciones son x = −3/2 y x = −7/2. El discriminante es 400 − 336 = 64, un cuadrado perfecto, así que las dos raíces salen como fracciones exactas.
La solución es x = 12. Dentro del paréntesis, 13x/4 − 11x/6 se combina en 17x/12, y ese 17 cancela al divisor, dejando la ecuación 5.6 − x/4 = 2.6.
La solución es x = 3. Repartir −2 sobre x − 1 da −2x + 2, así que la ecuación pasa a ser 7 − 2x = 1, luego −2x = −6 y finalmente x = (−6)/(−2) = 3.
La solución es x ≤ −2. Al repartir queda 3 − x/2 ≥ 4, de ahí −x/2 ≥ 1, y multiplicar ambos lados por −2 invierte el sentido, dando x ≤ −2 y no x ≥ −2.
La respuesta es n = 12/5 = 2.4. Al repartir el signo menos de delante, −(−5n + 1) se convierte en +5n − 1, así que los dos términos en n se suman en vez de cancelarse.
La raíz es x = −31/5 = −6.2. Dividir primero ambos lados entre 5 convierte la ecuación en x + 8 = 9/5 y evita por completo desarrollar hasta 5x + 40 = 9.
La respuesta es x = (5ln3 − 2ln5)/ln15, unos 0.8398, y no 1.037. Las bases distintas obligan a usar logaritmos, y ln5 + ln3 se agrupa limpiamente en un solo ln15.
La respuesta es x = −2934271/5900 ≈ −497.334068. Escribir 1 como 113/113 fusiona 5x/113 y x en 118x/113, y una constante tan grande obliga a una raíz negativa grande.
x = 5399/5.8116 = 929.00. Al quitar la fracción queda 5399 = 5.8116x, es decir, x = total/(1 + razón); el resto, 4470.00, es entonces exactamente 4.8116 veces x.
La solución es x = 5. No hay ningún término constante que mover, así que dividir ambos lados entre 580 termina el problema, y 2900/580 se simplifica exactamente a 5.
La solución es a < −2 o a > 6/5. El discriminante 256 es un cuadrado perfecto y da las raíces −2 y 6/5; como la parábola abre hacia arriba, es positiva fuera de ellas.
La respuesta es w = −7z/2. Reúne los términos en w a la izquierda y los términos en z a la derecha hasta llegar a 2w = −7z, y luego divide entre 2 sin tocar el signo.
La solución es x = 5. Restar 2x deja 3x − 4 = 11, sumar 4 da 3x = 15 y dividir entre 3 da x = 5, valor con el que los dos miembros valen 21.
Las soluciones son x = −2 y x = 1/3. Reconocer 49x² como (7x)² convierte la ecuación en A² − B² = 0, que se factoriza en dos ecuaciones lineales en vez de una cuadrática.
La respuesta es x = 0.8. Al desarrollar, los 25x² se cancelan entre sí, así que la aparente cuadrática se reduce a la ecuación lineal −80x + 64 = 0.
La solución exacta es x = −1. Resta 7 a ambos lados hasta llegar a 5x = −5 y divide entre 5; al sustituir, 5(−1) + 7 = 2, así que la respuesta cuadra.
La solución es x > −5/4. Combinar 5x y −2x da 3x, y dividir la fracción −15/4 entre 3 se simplifica a −5/4 conservando el sentido de la desigualdad.
Las soluciones son x = 2 y x = −2. Al no haber término lineal se puede aislar x² = 4 y extraer raíces directamente, más rápido aquí que la fórmula general.
La respuesta es x = 280 exactamente. La diferencia de ritmo es de solo 0.05, y 14/0.05 da un número entero porque dividir entre 0.05 equivale a multiplicar por 20.
La respuesta es x = 14/0.17, unos 82.35. Los dos términos en x casi se cancelan y solo queda 0.17x, que es justo por lo que una constante pequeña produce una respuesta grande.
La respuesta es p = −7. Desarrollar los dos miembros da 30 + 6p = 7p + 37, y restar 6p deja la p sola, sin necesidad de ninguna división.
La respuesta es x = −23. Al desarrollar queda 6x − 30 = 7x − 7; pasando los términos en x a la derecha y las constantes a la izquierda sale x = −23 en un solo paso.
Las tres raíces reales son aproximadamente −0.91311, aproximadamente 1.11768 y exactamente 36, porque 36¹⁸ = (6²)¹⁸ = 6³⁶. La función ln(x)/x gobierna las dos raíces positivas.
Respuesta: X = 4347/50 = 86.94. Combina las dos fracciones en 500/27 y resta 2210; como esta vez el miembro izquierdo es el menor, X sale positivo.
La respuesta es g = 18. Los tres términos en g se reducen a 2g porque la g suelta cuenta como 1g, así que la ecuación queda en 2g = 36 antes de dividir.
La solución es p < (3 − √21)/6, o bien 0 < p < 1/2, o bien 1 < p < (3 + √21)/6, porque el polinomio de grado 5 factoriza limpiamente como p(p − 1)(2p − 1)(3p² − 3p − 1).
Las raíces son x = (−5 + √61)/4 y x = (−5 − √61)/4. Desarrolla el paréntesis hasta 4x² + 10x − 9 = 0 y luego divide la fórmula general entre 2 para simplificarla.
Respuestas: s = −6 y s = −64/7. Sustituir u = s + 9 convierte la ecuación en 7u² − 20u − 3 = 0, que factoriza como (7u+1)(u−3) = 0.
La respuesta es k = 34.5. Al restar primero el 300 queda 200k = 6900, y como 6900 no es un múltiplo entero de 200 el resultado cae en una mitad exacta.
No hay solución real: el discriminante de x² − 37x + 345 vale −11. El máximo de 74x − 2x² es 684.5, que se queda justo por debajo del objetivo de 690.
La solución es x < 2/3 o x > 7/5. Se resta 4, se combina todo en (7 − 5x)/(3x − 2) < 0 y se usa una tabla de signos; multiplicar por 3x − 2 sería inválido porque su signo cambia.
La respuesta es x ≥ 7. Se resta 4x, se suma 15 y se divide entre 3; como el divisor es positivo, el signo de la desigualdad nunca tiene que invertirse.
La solución es x > −2. Se distribuye el 3 dentro del paréntesis, se agrupan los términos en x a la izquierda y las constantes a la derecha, y se divide entre 4, que es positivo.
La solución es x = −5. Al restar 3x la variable se agrupa a la izquierda como 4x; pasar el 8 al otro lado deja 4x = −20 y dividir entre 4 lo termina.
La respuesta es x = −7.6. Se multiplican ambos lados por (x + 6), se desarrolla −5(x + 6) = −5x − 30 y se comprueba que la raíz no anule el denominador.
La respuesta es x = 2.8/1020000 ≈ 2.745098 × 10⁻⁶. Los coeficientes enormes de ambos lados se refuerzan en 1020000x, así que la raíz queda seis órdenes de magnitud por debajo de 1.
La respuesta es x = −7489/1275000 ≈ −0.0058737. Sumar 10000x en ambos lados junta el coeficiente en 1020000, y la diferencia de constantes de −5991.2 hace que x salga pequeño y negativo.
La respuesta es x = 7300/13, alrededor de 561.54. Se distribuyen ambos paréntesis, queda 29200 − 27x, se pasan los términos en x a un solo lado para obtener 52x = 29200 y se divide.
La solución es x = 1.55095. Como el mismo número multiplica a x y también aparece solo, factorizar deja x + 1 = 215900.9/84635.579: una sola división en lugar de dos pasos.
La solución es g > 5. Al distribuir queda 2g − 6 < 8g − 36, y pasar los términos en g a la derecha mantiene el coeficiente positivo, de modo que 30 < 6g sin invertir el signo.
Las respuestas son x = 0 y x = 2. Se pasa todo a un lado y se saca factor común 8x; dividir ambos lados entre x destruiría en silencio la raíz x = 0.
La respuesta es a − b = −4. Los valores individuales de a y b no se pueden hallar con una sola ecuación, pero su diferencia queda fijada al restar 9 en ambos lados.
Las raíces son x = 5/3 y x = 1/3. La ecuación ya es un cuadrado perfecto, así que conviene aislar (x − 1)² = 4/9 y extraer las dos raíces cuadradas en vez de desarrollar la cuadrática.
x = logaritmo en base 9 de 252 = ln 252 / ln 9 = 2.5166. Multiplicar por 12 aísla 9^x = 252, que no es una potencia de 9, así que aquí el logaritmo es inevitable.
x = 9127/1.934 = 4719.23. Multiplicar por x y después sumar x deja 9127 = 1.934x, que es la regla x = total/(1 + razón) con una razón apenas menor que 1.
La respuesta es x = 7517/7, alrededor de 1073.86. Se divide entre 100, se aísla la fracción hasta 0.08 = 3/(0.14(x − 806)), se invierte y se vuelve a sumar 806.
x ≈ 1.2503. Los dos productos entre paréntesis comparten el factor 4 − 2x, cuyo coeficiente combinado es 41.4 + 28 = 69.4, y todo se reduce a 305.6 − 122.8x = 152.0621.
La respuesta es Vout = 4.81748. Los coeficientes lineales 96.844679 y 97.109892 casi se cancelan, así que cada dígito cuenta; con fracciones exactas queda 1.2777 − 0.265213 V − 3.6354e−7 V³ = 0.
Las raíces son −0.01062039, 0.02187147 y 245.69974892. Dos raíces están cerca de cero y una es enorme, así que las relaciones de Vieta por sí solas no bastan para confirmar las pequeñas.
La respuesta es y > 3/8. Se eliminan los denominadores decimales 0.03, 0.5 y 0.15 reescribiendo cada cociente como fracción, se reducen términos semejantes y se divide entre 8.
La raíz real es x = 0.0536118. El acotamiento exige puntos de prueba bien evaluados: f(0.06) vale +0.0246, así que el cambio de signo queda por debajo de 0.06, no por encima.
La respuesta es x = −0.72 con dos decimales. Se separa cada fracción en un coeficiente y una constante, se agrupa hasta 18.3451x = −13.2857 y se divide para llegar a x = −0.7242.
La respuesta es X = 14487500/1313781, alrededor de 11.027. Se calculan los productos 3.6 × 7 × 60 = 1512 y 25.2, se agrupan los términos en X y se divide 11.498016 entre 1.0426833.
La respuesta es x = 2.40 con dos decimales. Se desarrolla el producto, se separa cada fracción en un coeficiente decimal más una constante, se agrupa hasta 20.7775x = 49.9345 y al dividir sale x = 2.4033.
Las raíces son x = 15.97929 y x = 8.02999. El discriminante vale 0.5945668496; un solo dígito mal tecleado en 4ac desplaza ambas raíces en la tercera cifra decimal.
Las raíces son x = 1 (doble), −1, −5 y ±i√2. Una raíz racional, después una factorización por agrupación y por último la sustitución y = x² desarman la ecuación de grado seis.
Al quitar los decimales queda y³ + 26y² + 25y − 100 = 0 con y = x². Su única raíz positiva es y = 1.50569, así que x ≈ ±1.22706 son las únicas soluciones reales.
La respuesta es x ≈ 5.666. Se pelan los logaritmos de uno en uno elevando 10 a ambos lados dos veces, después de reducir el lado derecho a un único número.
Las raíces son x ≈ −1.4580 y x ≈ 1.4395. El discriminante vale 191.131 y su raíz cuadrada 13.8250 domina al diminuto coeficiente lineal, así que las raíces salen casi simétricas.
La solución es x = −1309/110 = −11.9. Primero se evalúan los cuatro productos triples, luego se combinan las constantes hasta 1309 y se divide entre el coeficiente 110.
x = 193.92W/0.87 = 222.90W. La incógnita aparece en ambos lados, así que hay que agrupar el 0.13x antes de dividir: es una ecuación lineal, no una simple evaluación.
La solución es q = 5. Combinar primero las dos constantes de la izquierda en −20 y luego restar 4q en ambos lados convierte la ecuación en 6q = 30.
La respuesta es x = 591.4491. Como el mismo coeficiente aparece dos veces se puede sacar como factor común, lo que da x + 1 = 215900.9/364.4210 y un resultado en una sola línea: x = 591.4491179.
La solución es x = 6710/0.97 = 6917.53. Reducir primero el paréntesis a x + 1000 convierte toda la ecuación en 0.97x − 210 = 6500 de un solo paso.
x = 2. Al desarrollar los cuatro paréntesis queda 200 − 56x = 18x + 52, es decir 148 = 74x. Con x = 2 los dos lados de la ecuación original valen 88.
La solución es x = 12/5 y y = √6/5. Multiplicar las ecuaciones por √2 y por √3 convierte los dos coeficientes de y en √6, de modo que se cancelan al sumar.
La respuesta es x = ±√a cuando a > 0. Multiplicar por x da x² = a, pero x = 0 queda prohibido por la fracción original, así que a = 0 no tiene solución.
x = (2880 − m)/9 e y = (1440 − 2m)/9, y la desigualdad x + y ≤ 8m/3 se cumple exactamente cuando m ≥ 160. Un solo desliz de signo al despejar x invierte toda la condición.
La solución es x = 2201834.869. Al pasar 3% y 13% a 0.03 y 0.13, los términos en x se combinan en +0.10x, porque −0.03x + 0.13x deja una décima.
La solución es x ≤ 47.94, o x ≤ 47 si x debe ser entero. Dividir entre el coeficiente negativo −0.85 es lo que invierte el signo de la desigualdad.
La respuesta es x = 2000.8486. Se evalúa primero 0.35 × 1077.38 = 377.083, se resta y se divide entre 0.35; de forma equivalente, x = 1077.38 × 0.65/0.35 en una sola línea.
La solución es a = 12. Sumar −16 es lo mismo que restar 16, así que la ecuación se vuelve a − 16 = −4, y sumar 16 en ambos lados despeja la a.
Al desarrollar queda la cúbica −0.013122x³ + 50.058x² − 41762.7x + 6482700 = 0, cuyas tres raíces reales son x = 24500/27 ≈ 907.4074, x ≈ 201.1822 y x ≈ 2706.2252.
La solución es x = −385.8956. Se reduce el numerador a 1202.61 − x, se multiplica en cruz hasta 9(1202.61 − x) = 16(1279.43 + x) y se agrupan los términos en x.
La solución es x ≥ 1/2. Al desarrollar ambos lados queda x² + 4x + 3 ≥ x² − 6x + 8, y restar x² deja una inecuación lineal corriente.
Sacar factor común z deja la cúbica reducida z³ + 2r²z − 8 = 0 con r² = x² + y², cuya única raíz real da explícitamente la fórmula de Cardano.
Las soluciones son x = 0.9 exactamente y x = 0.8974433. Factorizar (8.9 − x)² − 64 como (0.9 − x)(16.9 − x) deja a la vista un factor común y reduce una cuártica a una cúbica.
La respuesta es x ≈ 4.9368×10⁻⁵. Se evalúa primero el cubo recíproco conocido, que vale 8×10¹², se pasa al otro miembro y luego se invierte y se extrae la raíz cúbica, todo en notación científica.
La solución es x = 24. Se agrupan las tres constantes del primer miembro en -4 y los dos términos con x del segundo en -12x; al transponer queda 3x = 72.
La única solución real es s = -3.0864085. Al quitar denominadores queda 2s³ + 33s² + 180s + 300 = 0, que pese a las apariencias no tiene ninguna raíz racional.
Las dos raíces reales son x = 0.0221841 y x = -2.1184421. Al sacar factor común (1+x)²⁷ las diez potencias se convierten en una serie geométrica, y después un cambio de signo acota cada raíz.
La solución es a = −1/550, b = 199/1100, c = 61/55. Como c tiene coeficiente 1 en las tres ecuaciones, restar pares consecutivos la elimina de un solo golpe.
Respuesta: x1 = 19, x2 = -8, x3 = 1. Se intercambian filas para conseguir un 1 como primer pivote, se anula lo que queda debajo de cada pivote y luego se retrocede hasta la forma escalonada reducida para leer la solución.
D = 12830.69 y W = 12169.31. Al sustituir W = 25000 − D la segunda ecuación se reduce a 0.945D = 12125, porque las dos concentraciones se diferencian justo en 0.945.
La solución es X = 4963/11 ≈ 451.18 e Y = 12142/11 ≈ 1103.82. Multiplicar la segunda ecuación por 5.15 y restar aísla Y en un solo paso.
La solución es X = 2393/18 ≈ 132.94 e Y = 3218/9 ≈ 357.56. Al sustituir X = 490.5 − Y el sistema se convierte en una sola ecuación en Y con coeficiente 0.45.
La solución es X = 4481/11 ≈ 407.36 e Y = 13064/11 ≈ 1187.64. El determinante de los coeficientes vale 5.20 − 5.75 = −0.55, y de él salen los dos cocientes.
La solución es X = 524.625 e Y = 1103.375. El precio medio es 6627.75/1628 ≈ 4.0711, y su posición entre 3.80 y 4.20 fija directamente el reparto.
La solución es x = -339.79. Los coeficientes de x se diferencian en apenas 0.14394, así que la diferencia entre las constantes, -48.9091, se amplifica unas siete veces al dividir.
La solución es x = -374.70. Al restar el término en x más pequeño queda un coeficiente de solo 0.12987, así que una diferencia pequeña entre las constantes produce una raíz negativa grande.
La respuesta es exactamente x = 37.8, no una aproximación: 52.5/76.25 se simplifica a 42/61 y 549 = 9 × 61, así que 54.9 · 42/61 se reduce a 378/10 sin ningún redondeo.
Las respuestas son x = -6 y x = 10. Se simplifica primero el segundo miembro a 8 y luego se separa en 2 − x = 8 y 2 − x = -8 para capturar las dos soluciones.
La respuesta es el intervalo cerrado -7/2 ≤ a ≤ 1/2, no puntos aislados. Entre los dos vértices los términos en a se cancelan y la ecuación se reduce a la identidad 8 = 8.
La respuesta es únicamente x = 3/4. El segundo miembro tiene que ser no negativo, así que x ≥ 0, y esa condición elimina el candidato x = -3/8 del segundo caso.
La solución es -5/2 < x < 4. Los puntos de quiebre -1/3 y 4 generan tres casos, y el último se reduce a x + 1 < x + 1, que no se cumple en ningún punto.
Las soluciones son x = 16/3 y x = −4/5. Cuando dos valores absolutos son iguales, sus interiores son iguales u opuestos, así que se separa en 4x − 6 = x + 10 y 4x − 6 = −x − 10.
x = 4/7 o x = -2/7. Como 3 es positivo, la ecuación se separa en 7x - 1 = 3 y 7x - 1 = -3, de modo que las dos raíces quedan a 3/7 exactamente a cada lado de x = 1/7.
La respuesta es -2 < x < 2. Entre los vértices la suma vale constantemente 2, y fuera crece 2 por cada unidad, así que llega a 4 exactamente una unidad más allá de cada vértice.
La respuesta es x < 0 o x > 7. Entre los vértices la suma vale constantemente 3, así que el total solo alcanza 7 dos unidades más allá de cada uno de los dos vértices.
La respuesta es x < -3 o x > 0. El intervalo central se reduce al enunciado falso 1 > 3, así que el conjunto solución son las dos semirrectas exteriores y nada entre medias.
La respuesta es x = 11. La ecuación dice que x equidista de -66 y de 88, así que tiene que ser su punto medio: una sola línea en lugar de dos casos algebraicos.
La única solución es x = 3/2. Partir la recta en 0, 1, 2 y 3 produce cinco casos, y cuatro de ellos acaban en contradicciones o en raíces que caen fuera de su propio intervalo.
La solución es a = 78.77. Tomar el 13% del 10% equivale a multiplicar por 0.013, así que la deducción es solo 0.091a y el coeficiente de a se mantiene positivo en 6.909.
Las soluciones son b = 4 + √11 y b = 4 − √11. Conviene renombrar los coeficientes de la fórmula como A, B, C para no confundir nunca la incógnita b con el coeficiente central.
La solución es x = 2034022.99. Pasar 0.13x al otro miembro deja 0.87x = 1769600, porque la x del segundo miembro lleva un coeficiente implícito de exactamente 1.
x = m, siempre que G y d sean distintos de cero. Los dos miembros llevan el mismo denominador d² y el mismo factor G, así que al cancelar queda Gm = Gx y, por tanto, x = m.
La solución es x = (4k - 6)/(k - 3) para k distinto de 3. Cuando k = 3 la ecuación se reduce a 6 = 12, una contradicción, así que no hay ninguna solución.
x = exp(5 ln2 ln3/(ln2 + ln3)) = 8.3729, no 6.06. Al convertir los dos logaritmos a logaritmos naturales, la ecuación se transforma en una sola ecuación lineal en ln x.
La solución exacta es x = −22703/143 ≈ −158.7622. Se resta 0.06997 para llegar a −0.00143x = 0.22703 y después se divide entre el coeficiente negativo, lo que cambia el signo de la respuesta.
Las raíces son x = (5 ± √785)/20, aproximadamente 1.650893 y −1.150893. El discriminante 785 = 5 × 157 no tiene ningún factor cuadrado, así que el radical no se puede simplificar.
x ≤ (65 − 5√161)/2 = 0.7786 o x ≥ (65 + 5√161)/2 = 64.2214. Dividir entre -4 invierte la desigualdad y deja x² − 65x + 50 ≥ 0, cierta fuera de las raíces.
x = -3. El signo menos delante convierte -(5x - 4) en -5x + 4 y, tras reducir términos, queda -3x - 10 = -1, o sea -3x = 9, de donde al dividir entre -3 sale x = -3.
La respuesta es x < 7. Dividir entre el negativo -6 invierte el sentido, así que el mayor que se convierte en menor que: ese único paso decide toda la respuesta.
La respuesta es x = -2. Primero se simplifica el segundo miembro a 14 y después se divide entre -7: un positivo dividido entre un negativo da un cociente negativo, no 2.
t = -3 + √37, aproximadamente 3.0828. Al multiplicar todo por -1 queda t² + 6t - 28 = 0, con raíces -3 ± √37, y la condición t > 0 descarta -3 - √37.
No hay solución real; las raíces complejas son m = (1 + i√3)/2 y (1 - i√3)/2. Al quitar el denominador queda m² - m + 1 = 0, cuyo discriminante vale -3.
La solución es x = 1/(2 - m), válida siempre que m sea distinto de 2. Se aísla el recíproco, se invierten los dos miembros y se observa que m = 2 anula el denominador.
La solución es 9/2 ≤ x < 5. Al restar 8 en las tres partes queda -10 < -2x ≤ -9 y, al dividir entre -2, se invierten los dos signos de desigualdad a la vez.
La respuesta es x = 3. Se suma 9 en ambos miembros para llegar a -2x = -6 y luego se divide entre -2; dos negativos dan un cociente positivo, así que la respuesta es 3 positivo.
La respuesta es x ≤ -2 o x ≥ 2. Dividir entre el negativo -2 invierte el signo y deja x² ≥ 4, y un cuadrado mayor o igual que 4 da dos semirrectas hacia fuera.
La solución es x ≥ -3. Tras restar 6 hay que dividir entre -4, y dividir una desigualdad entre un número negativo invierte su sentido, de ≤ a ≥.
x = 2 o x = 3. Sacar el factor común -4 deja la sencilla cuadrática mónica x² - 5x + 6, que se factoriza como (x - 2)(x - 3).
Las raíces son m = 3.67 y m = -0.27. Se pasan todos los términos al miembro que deja positivo el coeficiente de m², lo que da 5m² - 17m - 5 = 0 con discriminante 389.
La respuesta es x < -4/3. Dividir ambos miembros entre -6 invierte la desigualdad, y la fracción resultante -8/6 se simplifica a -4/3, es decir, alrededor de -1.333.
Las soluciones son t = -3 + √37 y t = -3 − √37. Al multiplicar por -1 queda t² + 6t - 28 = 0, cuyo discriminante 148 se simplifica y deja 2√37.
La respuesta es x < 1. Al pasar el 1 al otro miembro queda -x > -1 y, al dividir entre -1, el mayor que se convierte en menor que: en eso consiste toda la dificultad.
La solución es 1 ≤ x ≤ 3. Multiplicar por -1 invierte la desigualdad y la convierte en x² - 4x + 3 ≤ 0, que se cumple entre las raíces 1 y 3, ambas incluidas.
No hay solución. Al pasar a x² − 6x + 10 < 0 el discriminante vale −4, así que esa parábola hacia arriba nunca llega al eje y siempre es positiva.
Las raíces son x = 3 y x = −1/2. Multiplicar por el mínimo común denominador 30 deja 2x² = 5x + 3, y factorizar 2x² − 5x − 3 como (2x + 1)(x − 3) remata el problema.
x < −4, es decir el intervalo (−∞, −4). Multiplicar ambos miembros por el número positivo 3 conserva el sentido de la desigualdad; solo un multiplicador negativo lo invierte.
Las cuatro raíces son x = −1, 3/2, 2 − √3 y 2 + √3. Se factoriza la cuártica con el teorema de la raíz racional y división sintética, y luego la fórmula general.
La solución única es x1 = 2, x2 = 2, x3 = 0. Al eliminar x1 de la segunda y la tercera ecuación queda un sistema 2x2 que se derrumba de inmediato en x3 = 0.
La solución única es x1 = 5, x2 = 3, x3 = −1. A dos de las ecuaciones les falta una variable, así que expresar x1 y x2 en función de x3 resuelve todo el sistema en pocos pasos.
La solución es todo el intervalo [0, 1]. Lee el miembro izquierdo como la distancia total de x a 0 y a 1: esa suma vale 1 justo cuando x se sitúa entre ambos puntos.
Las soluciones son x = 9 y x = −9. Las barras exteriores se desdoblan en |x| − 4 = 5 y |x| − 4 = −5; la segunda rama da |x| = −1, que ningún número real cumple.
Las raíces reales son x = 5 y x = −5. El cambio t = x² deja t² − 24t − 25 = 0 con t = 25 o t = −1, y solo t = 25 produce valores reales de x.
Respuesta: x = 24.5. Al desarrollar queda 367.5 + 4x = 372.4 + 3.8x; los términos en x se diferencian solo en 0.2, así que una brecha de 4.9 entre las constantes exige 24.5 unidades del material nuevo.
La respuesta es −3 < x < −2. Restar 4 en las tres partes es el único paso necesario, y ambos extremos salen negativos porque 4 supera a los dos límites.
Las raíces son x = −3, x = 1/2 y x = 1. El teorema de la raíz racional señala x = 1/2, así que 2x − 1 sale como factor y deja x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1).
La respuesta es x > ∛5, aproximadamente 1.71. La raíz cúbica está definida para todos los reales y es estrictamente creciente, así que la solución es una sola semirrecta, sin separar casos.
Las respuestas son x = 1 (raíz doble) y x = −2. La división sintética entre x − 1 deja x² + x − 2, que contiene por segunda vez el factor x − 1.
La raíz real es x ≈ −0.6535952 y las complejas son x ≈ −0.6732024 ± 2.3805031i. No hay ninguna raíz racional, así que se acota entre −1 y 0 y se refina con el método de Newton.
La única respuesta real es x = 7, porque la cúbica es x(x+1)(x+2) = 504 y 7 · 8 · 9 = 504. Las otras dos raíces forman el par complejo −5 ± i√47.
Respuesta: x = (−3 ± √555)/2, es decir unos 10.279 y −13.279. Pasa el 2.91 al otro miembro, multiplica por 100 para llegar a 2x² + 6x − 273 = 0 y aplica la fórmula general.
Las soluciones son x ≈ 4.34 e y ≈ 6.02. La segunda ecuación ya deja y despejada como 16.83 − 2.49x; al sustituir queda 19.6048x = 85.1016, de donde x = 4.3409 e y = 6.0213.
Respuesta: x ≥ 0, es decir [0, ∞). Cancela el 1 de ambos miembros, combina −x/3 + 2x/7 sobre 21 e invierte el signo al dividir entre el coeficiente negativo.
La solución es x < 0. Combina −x − x en −2x, multiplica ambos miembros por el número positivo 3 (el sentido no cambia) y agrupa los términos en x.
La solución es x < 3/2. Combina 2x − x en x, multiplica ambos miembros por 3 (lo que conserva el sentido de la desigualdad) y agrupa términos hasta llegar a 6x < 9.
La solución es todo x distinto de 2. Al factorizar queda −(x−2)², negativa en todas partes menos en su raíz doble, donde vale exactamente cero y la desigualdad estricta falla.
La respuesta es x < −|a| o x > |a|. No se puede extraer la raíz directamente porque a podría ser negativo; factorizar en (x − a)(x + a) > 0 cubre de golpe todos los signos de a.
Respuesta: 0 < x < 2945.715457. El miembro izquierdo crece de forma estricta a partir de x = 1 y es negativo por debajo, así que una sola frontera numérica resuelve toda la inecuación.
La respuesta es x > 1. Tomar logaritmos la convierte en x ln(x) > 0 y, como x es positivo, el signo depende solo de ln(x), que es positivo justo por encima de 1.
La solución es x = 5. Multiplicar cada término por el mínimo común denominador 6 quita todas las fracciones de una vez y convierte la ecuación en 9x − 29 = x + 11.
Respuesta: x = 40000/59, unos 677.97. Distribuye el 0.21, junta los términos en x en 0.59x, resta 2100 y divide; conservar la fracción evita la deriva por redondeo.
La solución es 4 ≤ x ≤ 30. Sacar como factor común el paréntesis repetido (800 − 20x) deja (0.6 + 0.1x)(800 − 20x) ≥ 720, que se reordena hasta x² − 34x + 120 ≤ 0.
Respuesta: x = 142.393 o x = 17.619. El discriminante es 426213.1225 − 167051.52 = 259161.6025, cuya raíz vale 509.0792; divide entre 2a = 8.16 para terminar.
Tres raíces reales x ≈ −0.603957, 0.909281 y 1.110778, más el par complejo −0.070551 ± 0.636284i. No existe ninguna raíz racional, así que la quíntica hay que resolverla numéricamente.
Las cinco raíces son x = 0, 10, −5, −15 y −20. Saca factor común x y separa después la cuártica en (x² + 10x − 200)(x² + 20x + 75): todas las raíces son enteras.
La única solución es x = (5 + √33)/4, unos 2.6861. Pasa un radical al otro miembro para que ambos lados queden no negativos, eleva al cuadrado dos veces y descarta la raíz extraña.
La solución es x = 162. Aísla el radical hasta llegar a √(x + 7) = 13 antes de elevar al cuadrado: elevar con el −11 todavía pegado es lo que produce respuestas equivocadas.
Las soluciones son x = 0 y x = 1/16. Reescribir el radical anidado como x^(3/4) convierte la ecuación en x^(3/4) = 2x, y el caso x = 0 hay que tratarlo aparte.
No hay ningún x que la cumpla. En el dominio x ≥ 1/3 ambos miembros son no negativos, así que elevar al cuadrado da 3x − 1 > 4x², es decir 4x² − 3x + 1 < 0; esa cuadrática tiene discriminante −7 y es siempre positiva.
La solución es x = 15. Escribir la razón como fracción y multiplicar en cruz da 15x + 6 = 14x + 21, de modo que en la izquierda sobrevive una sola x.
La solución es (2, −4). Multiplica las dos ecuaciones por 10 para quitar los decimales, escala por 2 y por 3 para igualar los coeficientes de x y suma para llegar a −23y = 92.
Respuesta: x = 6/95 e y = −6/47. El cambio a = 1/x y b = 1/y convierte el sistema de recíprocos en uno lineal, que se resuelve por reducción y después se invierte.
x = 3 e y = 3. Sustituir y = 6 − x reduce la primera ecuación a 120x + 600 = 960, y una comprobación con el promedio confirma el reparto por igual de las seis unidades.
La respuesta es x = 4, y = −5. La primera ecuación da y = 3 − 2x sin ninguna fracción, y eso hace que aquí la sustitución salga más limpia que la reducción.
La solución es x = 14/5 e y = 9/5. Reordena x − y = 1 como x = y + 1, sustituye en 3x + 2y = 12 para llegar a 5y + 3 = 12 y después sustituye hacia atrás.
Respuesta: x = 1 e y = 1. Escala las ecuaciones por 3 y por 2 para que los términos en y queden +6y y −6y, súmalas para eliminar y, y 13x = 13 da la respuesta al instante.
La solución es (23, −30). Multiplica la primera ecuación por 4 para obtener 2x + y = 16, sustituye y = 16 − 2x en la segunda y resuelve 2x − 48 = −2.
La solución es x = −3/2 e y = −2. Multiplica la primera ecuación por 12 para llegar a 8x − 9y = 6, desarrolla la segunda hasta 2x + 7y = −17 y elimina x.
La solución es el intervalo (−7, 1]. La primera inecuación da x ≤ 1 tras dividir entre −2 e invertir el signo; la segunda da x > −7, y la respuesta es la intersección.
La respuesta es x = 17/4 e y = 3/4. Dividir la segunda ecuación entre 2 deja x + y = 5, y a partir de ahí una sola resta elimina x.
La solución es x = 3, y = −2. Los coeficientes de y ya son opuestos, así que sumar las dos ecuaciones elimina y de inmediato y deja 3x = 9 en un solo paso.
La solución es x = 1, y = −2. Despejar y en la primera ecuación y sustituir convierte el par en 5x + 2 = 7, una única ecuación lineal.
Las soluciones son (1, 2) y (2, 1). Con s = x + y y p = xy el sistema pasa a ser s² − p = 7 y s + p = 5, es decir s² + s − 12 = 0; solo s = 3, p = 2 da valores reales.
Los cuatro pares reales son (3,1), (1,3), (−1,−3) y (−3,−1). Como (x²+y²)² = x⁴ + y⁴ + 2(xy)² = 82 + 18 = 100, resulta x² + y² = 10, y de ahí x + y = ±4 y x − y = ±2.
La solución es x = 5/3, y = 14/3. Las dos ecuaciones ya dan y, así que basta con plantear 4x − 2 = x + 3, despejar x y sustituir en cualquiera de las dos rectas.
La respuesta es x = 4. Se suma 3 a ambos lados para obtener (3/4)x = 3 y luego se multiplica por el recíproco 4/3 en vez de dividir entre una fracción; también se puede eliminar el 4 desde el principio.
Las soluciones son x = −2, 0 y 11. Se pasa todo a un lado, se saca la x como factor común y se factoriza la cuadrática restante como (x − 11)(x + 2); dividir entre x haría perder la raíz x = 0.
x = 5, una raíz de multiplicidad tres. Los coeficientes 1, −15, 75, −125 son el patrón binomial de (x − 5)³, así que hay una sola raíz triple y ninguna otra, ni real ni compleja.
La única solución es x = 1, una raíz triple. Los coeficientes 1, −3, 3, −1 son la fila binomial con signos alternos del cubo, así que la cúbica se reduce a (x − 1)³ = 0.
Las raíces son x = 2, doble, y x = −1. Probando raíces racionales aparece x = 2, y la división sintética deja x² − x − 2, que se vuelve a factorizar como (x − 2)(x + 1).
Las raíces son x = 1, 2 y 3. Se prueban los divisores de 6, se divide entre (x − 1) con división sintética, se factoriza x² − 5x + 6 y se confirma con la suma y el producto de Vieta.
La respuesta es aproximadamente 737.56. Al agrupar los términos con x queda 0.82x = 604.8, así que la base es la parte fija dividida entre 1 menos la fracción del 18 por ciento.
La respuesta es x = 600/7, cerca de 85.71. Al agrupar los términos con x queda 0.7x = 60, y el denominador 7 es justamente la razón de que el decimal nunca termine.
La respuesta es x = 70/0.65 = 1400/13, cerca de 107.69. La incógnita aparece en ambos lados, así que hay que agrupar los términos con x hasta llegar a 0.65x = 70 antes de dividir; no es 70/0.35.
La respuesta es x = 400/3, cerca de 133.33. Pasar 0.4x a la izquierda deja 0.6x = 80, así que la autorreferencia cuesta un factor 1 − 0.4, no 0.4.
x = 262962.96. La incógnita aparece en ambos lados, así que primero se desarrollan los corchetes; la ecuación se reduce a 1.08x = 284000.
Respuesta: x = 37,500. La incógnita también está dentro del paréntesis, así que se simplifica a x = 0.12(350000 − x), se desarrolla hasta 1.12x = 42000 y se divide para terminar.
Las raíces reales son x = 1.0524735 y x = −1.6942810. La forma factorizada x(x + 1)(x² + 1) garantiza exactamente dos raíces reales; las otras dos son complejas.
Las raíces reales son x = 1.0620313 y x = −1.7023038. Acotar en [1, 1.1] y en [−1.75, −1.7] y bisecar después fija ambas con siete decimales.
Las dos raíces reales son x = 7.9431476 y x = −8.4477787. Factorizar el lado izquierdo como x(x + 1)(x² + 1) muestra de inmediato por qué existen exactamente dos raíces reales.
x = 7246.475 exactamente. El lado izquierdo se reduce a 0.8x, que es el álgebra de un descuento del 20 por ciento, y dividir entre 0.8 equivale a multiplicar por 1.25.
Las respuestas son x = 0.4940 y x = −0.3340. Al desarrollar queda x² − 0.16x − 0.165 = 0, cuyo discriminante 0.6856 no es en absoluto un cuadrado perfecto.
Las respuestas son x = 4.143 y x = −3.983. El discriminante es 0.0256 + 66 = 66.0256, y su raíz cuadrada 8.1256 no se parece a ningún número redondo.
La respuesta es x = 0.19/0.835 = 0.2275. Es la ecuación clásica del margen: un costo fijo de 0.19 deja un margen del 16.5 por ciento, así que la base es el costo entre (1 − margen).
La respuesta es x = 50. Restar 0.98x deja 0.02x = 1, y dividir entre 0.02 es lo mismo que multiplicar por 50, porque 0.02 es un cincuentavo.
La respuesta es x = 100. Restar 0.99x deja solamente 0.01x = 1, y dividir entre el pequeño coeficiente 0.01 es lo mismo que multiplicar por 100.
Respuesta: x = 3. Se multiplica cada término por el común denominador 10 para llegar a 5(x−1) = 20 − 2(x+2), se desarrollan ambos lados cuidando los signos y se agrupa hasta 7x = 21 de un solo movimiento.
Las respuestas son x = (3 + √13)/2 y (3 − √13)/2. Multiplicar por x la convierte en x² − 3x − 1 = 0, y como ninguna raíz vale 0, ninguna resulta extraña.
La respuesta exacta es x = 512009/6 = 85334.83333…. Se resta 3, se divide entre 0.6 multiplicando por 5/3 y se suma 1; el decimal periódico avisa de que el valor exacto no termina.
Respuesta: x = 168300/23, alrededor de 7317.39. El paréntesis se desarrolla como 0.08x − 500, así que al repartir el signo menos la ecuación queda 0.92x + 500 = 7232.
El paréntesis se simplifica a x²/(x+2), así que con y = x²/(x+2) la ecuación se vuelve y² + 4y − 5 = 0. Solo y = 1 es utilizable, y de ahí salen x = 2 y x = −1.
La solución es x ≤ 1. Al reducir x con −2x queda un solo −x, y dividir entre −1 en el último paso invierte la desigualdad de ≥ a ≤, dejando x ≤ 1.
La respuesta es x > 8. Se suma 3 en ambos lados para despejar la x; el signo de la desigualdad no cambia nunca, porque solo interviene una suma y no un multiplicador negativo.
La solución es x > −3. Multiplicar todo por el común denominador 4 da x − 3 < 24 − 2(3 − 4x), y el menos que precede a la fracción cambia el signo de los dos términos interiores.
Respuesta: x = 6500. Se desarrolla el paréntesis como 0.024x − 150, se reparte el signo menos y la ecuación se reduce a 0.976x + 150 = 6494, con una raíz entera exacta.
La solución es x ≤ 1. Distribuir −3 sobre x − 2 da −3x + 6, y la desigualdad resultante −2x ≥ −2 cambia de sentido al dividir ambos lados entre −2.
La respuesta es x > 15. Se suma 4 en ambos lados para deshacer la resta; como no interviene ninguna multiplicación por un negativo, el signo mayor que no se ve afectado.
La solución es x > −5/4. Multiplicar ambos lados por 6 da 2(x − 4) < 3(2x − 1), y la respuesta se deja como fracción exacta en lugar de como decimal.
x = 7/2. Que dos cuadrados sean iguales significa que las bases son iguales u opuestas; el caso «iguales» da x = 3.5 y el caso «opuestas» se reduce al enunciado falso −4 = −3.
La respuesta es x > 12. Sumar 7 en ambos lados despeja la x y, como la suma nunca cambia el sentido de una desigualdad, el signo mayor que se mantiene tal cual.
La raíz es x = −1. Los dos términos de la izquierda contienen x, así que se combinan en (4/5)x antes de dividir; multiplicar todo por 5 elimina las fracciones por completo.
Los despejes son x = y + 8 e y = x − 8. Una sola ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, que forman una recta de pendiente 1 en el plano.
x = 1.9078533, exactamente 17/3 veces 0.33668. Multiplicar en cruz deja 0.15x = 0.286178, y dividir entre 0.15 produce un decimal periódico en lugar de uno exacto.
x = 6.39692, que es exactamente 19 veces 0.33668. Multiplicar en cruz da 0.05x = 0.319846, y el 5 por ciento restante es lo que produce el factor 19.
La respuesta es x = 970/3, alrededor de 323.33. Multiplicar en cruz da 3x = 970, y ese 3 sale de 100 − 97, que es la razón de que el decimal se repita sin fin.
La respuesta es x = 490. Multiplicar en cruz da 50x = 49(10 + x), de donde x = 490: un objetivo del 98 por ciento exige 49 veces más de x que del 10 fijo.
La respuesta es x < 2. Se quita la fracción duplicando ambos lados; al agrupar queda −x > −2, y multiplicar por −1 invierte el sentido hasta x < 2.
x = −20/3, alrededor de −6.6667. Multiplicar absolutamente cada término por 4 elimina los dos denominadores y deja 9x − 6 = 14 + 12x, de donde −20 = 3x al agrupar.
x = (−5 + √99545)/2 = 155.2538 o x = (−5 − √99545)/2 = −160.2538. Al quitar los quintos y los medios, el producto se convierte en x² + 5x − 24880 = 0.
La respuesta es x = 44/3, es decir 14 enteros y 2/3, o aproximadamente 14.667. Se multiplican ambos lados por 8 para llegar a 88/6 y se simplifica por el factor común 2.
Al quitar los denominadores queda x³ + 25x − 25x − 125 = 0, es decir x³ = 125, así que x = 5 es la única raíz real; las otras dos raíces de la cúbica son complejas.
La respuesta es y = 100x/99, alrededor de 1.0101x. Multiplicar por y da x = 0.99y, y dividir entre 0.99 convierte el decimal en la fracción exacta 100/99.
La respuesta es x = 2/3. Desarrollar ambos cubos da 2x³ − 3x² + 15x − 7, y el término que se resta elimina 2x³ − 3x², dejando la ecuación lineal 15x − 7 = 3.
Respuesta: x = 13.15893318, exactamente 92937321/7062679. Se dividen ambos lados entre el multiplicador de ocho decimales y se resta 1; redondear antes de tiempo desplaza el resultado.
La solución es (3 − √26)/2 ≤ x ≤ (3 + √26)/2, aproximadamente de −1.0495 a 4.0495. Se desarrolla, se pasa el 1/4 al otro lado, se quita la fracción y se aplica la fórmula general a 4x² − 12x − 17.
La solución es −1 < x < 4. Un producto de dos factores es negativo justo cuando los factores tienen signos opuestos, y eso ocurre estrictamente entre las raíces.
La solución es x > 2. Resta x y después 6 para llegar a 4 < 2x, divide entre el 2 positivo y reescribe 2 < x con la variable a la izquierda como x > 2.
La respuesta es x = 8. Los cuatro términos tienen coeficientes 1, 10, 1 y 1, que suman 13, así que la ecuación se reduce a 13x = 104.
La respuesta es x < 4. Resta 2 en ambos lados para despejar x; la resta conserva el sentido, así que el signo menor que sigue apuntando hacia el mismo lado.
La solución es x < 17/2. Al agrupar los términos con x a la derecha queda 17 > 2x, y al dividir entre 2 se conserva la fracción exacta 17/2 en lugar de un decimal.
La respuesta es x = 8. Los dos términos cúbicos se cancelan: el primer producto es la suma de cubos x³ + 64 y el segundo es x³ − 25x, de modo que queda la ecuación lineal 25x + 64 = 264.
Las soluciones son x = (−11 + √61)/2 y x = (−11 − √61)/2. Al desarrollar queda x² + 11x + 15 = 0, cuyo discriminante 61 no es un cuadrado perfecto.
Las soluciones son x = 2 y x = 1/2. Como x² + 1/x² = t² − 2, la ecuación se convierte en 2t² − 7t + 5 = 0 con t = 1 o t = 5/2, y solo t = 5/2 tiene preimágenes reales.
La respuesta es x = 2. Como √4 = 2 es una constante y no un radical en x, la ecuación es lineal corriente: −2x + 2 = −2 da x = 2 en dos pasos.
x = 1/28 e y = 1/21. Sustituir x = 1/12 − y reduce la segunda ecuación a 2/3 + 7y = 1, de donde y = 1/21; es el clásico problema de dos ritmos de trabajo.
Las respuestas son x = 1 + 3√2 y x = 1 − 3√2. El discriminante es 72, y simplificar √72 como 6√2 es lo que permite que la fracción se cancele limpiamente.
La respuesta es x = −8. Al desarrollar el lado derecho queda x² + 30x + 225; los términos x² se cancelan y sobra la ecuación lineal 30x = −240.
Las soluciones son x = ±√(2√3), aproximadamente ±1.8612. El término independiente es irracional, así que la respuesta es un radical anidado igual a 2^(1/2) por 3^(1/4).
x = 5 o x = −5. Reconocer 25 como 5² convierte el lado izquierdo en (x − 5)(x + 5), lo que supera a extraer la raíz porque muestra los dos signos automáticamente.
Las soluciones son x = 1 + √5 y x = 1 − √5. El discriminante es 20, y simplificar √20 como 2√5 permite que toda la fracción se cancele limpiamente.
La solución es cualquier número real excepto x = 1. El lado izquierdo es el cuadrado perfecto (x − 1)², que es estrictamente positivo salvo en su raíz doble x = 1.
La primera da (−∞, −2] ∪ [5, ∞) y la segunda da [−1, 1]; su intersección es vacía, así que ningún x cumple las dos inecuaciones cuadráticas a la vez.
La solución es −2 ≤ x ≤ 5. La factorización (x − 5)(x + 2) muestra que la parábola hacia arriba baja del eje solo entre sus raíces, extremos incluidos.
Las respuestas son x = 1 y x = 3. Los números −1 y −3 multiplican 3 y suman −4, así que la cuadrática factoriza limpiamente como (x − 1)(x − 3).
La respuesta es y = (x² + 1)/4. Aísla el término −4y y luego divide entre −4, con lo que ambos signos cambian; el resultado es una parábola hacia arriba con vértice en (0, 1/4).
Las soluciones son x = 2 y x = 3. Un término independiente positivo con término central negativo obliga a que ambos factores sean negativos, y −2 por −3 da 6 mientras que −2 más −3 da −5.
Las respuestas son x = 3 + √14 y x = 3 − √14. El discriminante es 56, y simplificar √56 como 2√14 permite que el factor 2 se cancele con el denominador.
La solución es x < (7 − √73)/2 ≈ −0.7720 o x > (7 + √73)/2 ≈ 7.7720. El discriminante 73 es primo, así que ambas fronteras siguen siendo números irracionales.
La respuesta se parte según |a| > 2: la solución es el intervalo abierto entre (a − √(a²−4))/2 y (a + √(a²−4))/2, y es vacía cuando −2 ≤ a ≤ 2.
x = 7 o x = −6. Busca dos números de producto −42 y suma −1; son −7 y 6, lo que da la factorización (x − 7)(x + 6) = 0.
x = (−17 + √769)/2 ≈ 5.3654 o x = (−17 − √769)/2 ≈ −22.3654. El discriminante 769 no es un cuadrado perfecto, así que esta cuadrática no admite factorización entera.
Las respuestas son x = −1 + √2 y x = −1 − √2. Reescribirla como (x + 1)² = 2 es más rápido que la fórmula aquí, porque el coeficiente central es par.
Las soluciones son x = −1 y x = −2. Sumar 2 en ambos lados da x² + 3x + 2 = 0, que factoriza como (x + 1)(x + 2) porque 1 por 2 es 2 y 1 más 2 es 3.
x = −6 o x = 3. Dos números de producto −18 y suma +3 son 6 y −3, así que la cuadrática factoriza como (x + 6)(x − 3) = 0.
x = (−3 ± i√11)/2. Restar 1 da x² + 3x + 5 = 0, cuyo discriminante es −11, así que no hay ninguna raíz real: solo una pareja conjugada.
Las soluciones son x = −7 y x = 3. Un término independiente negativo obliga a que la pareja de factores tenga signos opuestos, y 7 por −3 da −21 mientras que 7 más −3 da 4.
x = −2 o x = −3. Dos números que multiplican 6 y suman 5 son 2 y 3, así que la cuadrática factoriza y la propiedad del producto nulo da las dos raíces.
x = 14 o x = −15. Pasar el 210 al otro lado da x² + x − 210 = 0, y la pareja 15 y −14 multiplica −210 mientras suma 1, que es el coeficiente de x.
La solución es x ≤ (−1 − √5)/2 ≈ −1.6180 o x ≥ (−1 + √5)/2 ≈ 0.6180, y esos dos valores frontera son exactamente los conjugados de la razón áurea cambiados de signo.
La respuesta es x = 5180/11 = 470.909091, no el redondo 470. Dividir 518 entre 1.10 nunca termina, y 1.1 × 470 = 517 se queda una unidad entera por debajo de 518.
La respuesta es x = 7/12, aproximadamente 0.5833. Divide ambos lados entre 60 para obtener 35/60 y después cancela el factor común 5 en numerador y denominador.
No hay solución real: el discriminante de x² − 37x + 345 es −11. Las respuestas complejas son (37 ± i√11)/2, así que no existe ningún rectángulo con esa área.
x = 1828/365 = 5.00822, no exactamente 5. Reducir 75 · 365 / 1000 a 27.375 da 27.375x = 137.1, mientras que 27.375 · 5 es solo 136.875, es decir, 0.225 menos.
Las respuestas son x = 15 y x = 35. Dividir toda la ecuación entre −5 la convierte en x² − 50x + 525 = 0, que factoriza limpiamente como (x − 15)(x − 35).
Las cuatro raíces son x = −2, −√2, √2 y 2. El cambio u = x² convierte la ecuación de cuarto grado en u² − 6u + 8 = 0, que factoriza como (u − 2)(u − 4).
La solución es x = 10²⁵. Tomar y = log x convierte la ecuación en y^(3/2) = 125, así que y = 125^(2/3) = 25 y x = 10²⁵.
La única raíz real es x ≈ 1.038016. El lado izquierdo es estrictamente creciente, así que existe exactamente una raíz; f(1) = 4 y f(1.1) = 5.990 la acotan.
Dividir entre −3x cambia el signo de todos los términos: 3x² pasa a −x, −15x pasa a +5 y la constante 5 pasa a −5/(3x).
Divide cada término del numerador entre 4x² por separado: resta los exponentes y divide los coeficientes. Solo el término central conserva una fracción, 5/4.
La descomposición es 1/(x − 2) + 2/(x − 2)². Escribir x como (x − 2) + 2 permite que cada trozo se cancele contra el denominador sin plantear ningún sistema de ecuaciones.
El producto es −19. Escribir primero √(−19) = i√19 es imprescindible, porque la regla √a por √b = √(ab) falla con radicandos negativos.
El desarrollo es 3a⁴ + 24a³ + 48a². Sacar primero √3 a como factor común convierte el problema en 3a²(a + 4)², y elevar al cuadrado elimina por completo el radical.
A + C tiene filas (19,3,3), (3,5,3) y (3,37,3), y su cuadrado tiene filas (379,183,75), (81,145,33) y (177,305,129). Suma entrada a entrada y luego multiplica la suma por sí misma.
La ecuación de cuarto grado tiene solo dos raíces reales, x ≈ −78.5149849 y x ≈ 80.4985052. Entre ellas nunca sube por encima de unos −3992, así que no hay ninguna raíz en todo el intervalo de 0 a 80.
La diferencia es −3x³ + 6x² + 7x − 18 y su grado es 3. Reparte primero el signo menos sobre el segundo polinomio y después reduce los términos semejantes.
La diferencia es 41/((x − 2)(x − 6)). Factorizar el denominador cuadrático revela el común denominador, y los términos con x se cancelan dejando un numerador constante.
La diferencia es −6x⁴y − 2x³y² + 9x²y³ − 3xy⁴ + y⁵. Aprende a cambiar el signo de todos los términos del segundo paréntesis y qué términos de dos variables se pueden reducir de verdad.
Respuesta: −4 + 15i. Reparte el signo menos sobre las dos partes del segundo número complejo y después suma por separado las partes reales y las imaginarias.
La diferencia es −2y∛(2x). Extrae los cubos perfectos 8 y y³ de cada radical para que ambos términos queden como radicales semejantes en ∛(2x).
La diferencia es n³ + 2. Distribuye el signo menos en todo el segundo paréntesis, observa cómo se cancelan los dos términos en n⁷ y combina los términos semejantes que quedan.
La respuesta es −2x² − 4x + 62. Toda la dificultad está en distribuir el signo menos en los tres términos de g, lo que convierte 4x en −4x y −60 en +60.
Respuesta: (−x² − 4x + 14)/((x+5)(x+4)). Lleva ambas fracciones al común denominador, desarrolla los dos productos y distribuye el signo menos en los tres términos.
La diferencia es x⁴y² − 15x³y − 14y + 8x y su grado es 6. Distribuye el signo menos en los cuatro términos, combina los semejantes y suma los exponentes de cada término.
La diferencia es −x³ − 10xy − 2y², un polinomio de grado 3. Distribuye el signo menos y empareja los términos en x³, xy e y² antes de leer el mayor grado total.
La suma es 10s²t − 5st², un binomio de grado 3. Solo se combinan los términos semejantes, y el grado de cada término es la suma de sus exponentes: 2 + 1 = 3, no 2.
El sistema u3 + u5 − u6 = 6 y u8 + u4 = 52 da d = 5 y u1 = 1. Los términos de índice par forman una progresión aritmética de diferencia 10, y la suma de sus 1010 términos es 5101510.
Respuesta: la suma es 6 (m = 0, 2, 4). El sistema queda vacío cuando m ≥ −1, y x + m − 2 = 2 − x tiene raíz entera no negativa cuando m es par y m ≤ 4.
La respuesta es 60, a partir de los dos primeros términos válidos 24 y 36. Los nueve ángulos suman 540, así que el término central es 60, y el ángulo de 78 obliga a (k − 5)d = 18 con d divisor de 18.
La suma de las raíces es −3. El dominio x ≥ −5 descarta x = −6, mientras que el propio factor radical aporta la raíz extra x = −5: las raíces son 2 y −5.
La suma es −3. El dominio x ≥ −5 descarta la raíz x = −6 de la cuadrática, y quedan x = 2 del factor cuadrático y x = −5 del factor con raíz cuadrada.
La suma es 3. El dominio es [−1, 4], así que el candidato x = 5 queda descartado y solo sobreviven x = −1, x = 0 y x = 4 al aplicar la regla del producto nulo a los dos factores.
Las dos raíces reales son x ≈ 0.027167 y x ≈ −2.122636. Sustituyendo y = 1 + x, el miembro izquierdo se convierte en la serie geométrica y²⁷(y¹⁰ − 1)/(y − 1), estrictamente creciente solo para y > 0: la rama negativa esconde una segunda raíz.
La solución es el intervalo −3/2 ≤ x ≤ 3/2. Al partir en x = −1 y x = 1, la suma pasa a ser −2x, luego la constante 2 y luego 2x; solo los casos exteriores imponen condiciones.
Al racionalizar, x = 2 + √3 e y = 2 − √3, así que x + y = 4 y xy = 1; con las identidades simétricas salen x² + y² = 14, x³ + y³ = 52 y 4x² + 7xy + 4y² = 63.
Al racionalizar se obtiene x = √5 + 2 e y = √5 − 2, así que la suma vale 2√5 y el producto vale 1. Entonces x² + y² = (x+y)² − 2xy = 20 − 2 = 18.
Al dividir se obtiene el cociente −x²/2 − x/4 + 27/8 y el resto 21/8. Factoriza primero el divisor como −2(x − 1/2), divide entre x − 1/2 y después divide el cociente entre −2.
El cociente es 2t² + 2t + 1 y el resto es −14. El término t² que falta debe escribirse como un 0 de relleno, con lo que la fila de coeficientes es 2, 0, −1, −15.
El cociente es 2t + 1 y el resto es −14, así que 2t² − t − 15 = (t − 1)(2t + 1) − 14. Un coeficiente principal 2 no estorba: solo el divisor tiene que ser mónico.
El cociente es 2x² + 4x + 6 y el resto es 5. El divisor x − 1 da c = 1, y el teorema del resto confirma ese 5 de forma independiente.
La división sintética da cociente x² + 2x + 2 y resto 7. Mira fila a fila cómo funcionan el 0 de relleno del término x² que falta y las bajadas de coeficientes.
El cociente es x² − 4 y el resto es 0, así que x − 2 divide exactamente al polinomio cúbico. Toma c = 2, baja el 1 y aplica multiplicar y sumar a lo largo de los coeficientes.
El cociente es x² + 2x y el resto es 5, así que el polinomio cúbico vale (x − 2)(x² + 2x) + 5. Rellena con 0 el término x² que falta y usa c = 2 en la tabla.
El cociente es x² − 5x + 6 con resto 0, así que el polinomio cúbico se factoriza como (x + 1)(x − 2)(x − 3). Ojo: x + 1 significa c = −1 en la tabla, no c = 1.
El cociente es x² + x + 2 y el resto es 0. El polinomio cúbico no tiene término en x, así que hay que poner un 0 de relleno en esa columna antes de montar la tabla.
El cociente es x² + 4x − 2 y el resto es −10, así que el polinomio cúbico vale (x − 1)(x² + 4x − 2) − 10. Un resto no nulo significa que x − 1 no es factor.
La solución es x = 300, y = 140. Al dividir las ecuaciones entre 8 y entre 6 quedan x + y = 440 y x + 2y = 580; restando se despeja y de inmediato.
Respuesta: x = 35, y = 5. Desarrolla ambos paréntesis para llegar a 3x − 2y = 95 y 2x + y = 75, despeja y en la segunda y sustituye para obtener 7x = 245 en una línea.
No hay solución real. La primera inecuación da −3 < x < 2 y la segunda da x < −6 o x > 2, y esos dos conjuntos solución nunca se solapan.
z = 14/13 y las parejas son ((28 ∓ √595)/13, (14 ± √595)/13). El truco está en ver que la ecuación central se reordena como 2 veces la tercera ecuación, lo que fija z de inmediato.
Al sumar las ecuaciones queda 2y = 12, luego y = 6; al sustituir se llega a x² = −4, que ningún número real cumple. El sistema no tiene solución real.
La tercera aleación pesa 150 kg. Equilibra el cobre: 0.40(100) + 0.55m = 0.45(100 + m), lo que da m = 50 kg de la segunda aleación sobre los 100 kg de la primera.
Los enteros son 16, 17 y 18. Llamarlos n−1, n, n+1 hace que la suma valga exactamente 3n, así que n = 51/3 = 17 y el número central sale de inmediato.
Una de cada color cuesta 6.00. Dos blancas y una amarilla valen 5; dos blancas y tres rojas, 10.50; tres amarillas y dos rojas, 11: se resuelve por sustitución.
El sistema es incompatible. Al eliminar b y c, todos los términos en a se cancelan y queda 2 = 100, una afirmación falsa, así que ninguna terna (a, b, c) cumple las tres ecuaciones.
La solución es x ≈ 0.21936, y ≈ −0.14766, z ≈ 0.07169. Sustituir primero z = x + y convierte tres ecuaciones en dos, y leer 25.33333 como 76/3 da fracciones exactas.
Los tamaños de fila forman una progresión aritmética con u1 = 15, d = 4 y n = 30, así que la última fila tiene 131 asientos y el total es (30/2)(15 + 131) = 2190 asientos.
El volumen combinado es 16.6xy metros cúbicos, o sea 249 metros cúbicos con x = 5 e y = 3. Triplicar las dos dimensiones de la base multiplica esa área por 9, no por 3.
La respuesta es 77 km/h. Escribir la distancia como 10v hace que el tramo restante sea exactamente v kilómetros, con lo que la ecuación del retraso se reduce a v/(v − 7) = 11/10.
El resultado es f(x) = 2|x + 5| − 8. Desplazar 1 a la derecha sustituye x por x − 1 y lleva el vértice de (−6, −1) a (−5, −1); la bajada de 7 lo sitúa después en (−5, −8).
El resultado es f(x) = |x − 3| + 9 y el vértice pasa de (1, 5) a (3, 9). Cambian las dos constantes: el 1 pasa a 3 dentro de las barras y el 5 pasa a 9 fuera de ellas.
El resultado es f(x) = |x − 6| + 3, y el vértice pasa de (4, −3) a (6, 3). Los desplazamientos horizontales van dentro de las barras y restan; los verticales van fuera y suman.
El resultado es f(x) = |x − 6| + 6, y el vértice pasa de (4, 0) a (6, 6). Como al principio no hay término constante, el desplazamiento hacia arriba aporta directamente la constante exterior.
Sustituir x por x + 4 da |(x + 4) − 5| = |x − 1|, y el vértice pasa de x = 5 a x = 1. Un desplazamiento a la izquierda usa un signo más dentro de la función.
Un desplazamiento vertical resta fuera del valor absoluto y da |x + 2| − 3. El vértice baja de (−2, 0) a (−2, −3), y ahora la gráfica corta el eje x en dos puntos.
El resultado es f(x) = |x + 8| + 8. Un desplazamiento horizontal va dentro del valor absoluto con el signo opuesto; uno vertical va fuera con el mismo signo.
El resultado es f(x) = |x − 2| + 4 con vértice (2, 4). Partir de la función madre |x| deja la regla a la vista: h va dentro con signo menos y k va fuera con signo más.
No hay ninguna elección de q, r, s. Con p = 1 el primer miembro de la conjunción se reduce a r ∧ ¬s y el segundo a s ∨ ¬r, y esas dos exigencias se contradicen, así que la fórmula es falsa siempre.
Las velocidades son 12 km/h y 15 km/h. Plantear 120/x − 120/(x+3) = 2 lleva a x² + 3x − 180 = 0, cuya raíz positiva es x = 12.
Respuesta: x = 3/5 e y = 9/5. La segunda ecuación da x = y/3 sin ninguna fracción que quitar, y al sustituir la primera se convierte en (10/3)y = 6 en un solo paso.
No hay solución. Las dos expresiones tienen pendiente 0.055, así que su diferencia vale la constante 2440 para todo x: son rectas paralelas que nunca se cortan.
La respuesta es 4 días. Dos días en solitario dejan 3/5 de la casa, y el ritmo conjunto de 3/10 por día liquida ese resto en exactamente 2 días más.
La recta es y = −3x + 689. La ecuación es la forma de dos puntos para (362, −397) y (366, −409); al multiplicar en cruz y dividir entre 4 sale la pendiente −3.
Una de cada una cuesta 6 libras: blanca 1.50, amarilla 2.00 y roja 2.50. Sustituir y = 5 − 2w en la tercera ecuación reduce el sistema a una sola ecuación en w.
Cada lata cuesta 18 dólares. Los tres amigos pagaron lo mismo, así que la parte justa es el promedio; el primer amigo se llevó 8 latas de más, y 144 dividido entre 8 da el precio.
El valor es 2. Vieta da x₁ + x₂ = −3 y x₁x₂ = −5, así que la expresión vale −3 − (−5) = 2 sin necesidad de hallar las raíces irracionales.
Sirve cualquier m real. Al despejar queda m ≤ x² − x + 1, y sobre x > 0 esa expresión no está acotada superiormente, así que un x positivo suficientemente grande siempre cumple la desigualdad.
El saldo tras n semanas es 42 + 8(n − 1) = 8n + 34. Al resolver 8n + 34 ≥ 400 se obtiene n ≥ 45.75, así que la semana 46, con 402 dólares, es la primera que alcanza.
La condición dice que z^2025 es igual a su propio conjugado, luego z^2025 es real. En forma polar obliga a que arg(z) = kπ/2025 con k entero, o bien z = 0, y el módulo queda libre.
Si n es impar, a + b siempre es factor y el cofactor lleva signos alternados. Si n es par no hay factorización general, aunque n = 6 sí se factoriza pasando por cubos.
Los puntos críticos 0, 2/3 y 1 dividen la recta en cuatro intervalos; al probar un punto en cada uno se ve que la fracción es positiva en (−∞, 0) y en (2/3, 1).
La opción C es la única correcta. En A el «mínimo» no es constante, en B el mínimo no se alcanza sobre x > 1, y en D el valor 1 es un máximo, no un mínimo, porque 4x − 5 es negativo.
Una función escalonada. Como cada onza adicional o fracción de onza cuesta 0.20 completos, el total salta en los límites de onza entera y se mantiene plano entre ellos.
A y C son correctas. El producto ab recorre (−4, 2), no (−2, 2), y ab − 2 < a − 2b es falsa porque equivale a (a + 2)(b − 1) < 0 con los dos factores positivos.
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Al leer m en y = mx + b, solo y = 4x + 7 tiene pendiente 4; la opción con −1/4 es perpendicular, no paralela.
Solo la afirmación 2 es correcta. Reescribe cada diferencia como A − B = A ∩ B′, aplica las leyes de De Morgan y compara: las otras tres fallan porque la unión y el complemento no conmutan de esa manera.
B y C son correctas. xy tiene máximo 1/4 (no mínimo), y √x + √y tiene máximo √2, no 2, porque su cuadrado vale 1 + 2√(xy) ≤ 2.
De u₅ − u₂ = 3d se obtiene d = 6 y u₁ = −5. Al resolver −5 + 6(n − 1) = 103 sale n = 19, y u₁₉ = −5 + 108 = 103 lo confirma.
Los tres coeficientes son múltiplos de 5, así que el miembro izquierdo siempre es divisible entre 5, pero 21,806 deja resto 1. Sobre los reales el conjunto solución es un plano.
El discriminante vale −16, que es negativo, así que no hay raíces reales ni factores lineales reales. Sobre los complejos se descompone como 5(x − r)(x − r conjugada).
Sí: al restar uₙ₋₁ = u₁ + (n−2)d de uₙ = u₁ + (n−1)d queda exactamente d. La identidad caracteriza a las progresiones aritméticas y falla en cualquier otro tipo de sucesión.
Ni 1 ni −1 son raíces, así que es irreducible sobre los racionales. Su derivada 3x² − 6x + 5 es siempre positiva, de modo que la cúbica es estrictamente creciente.
Las cuatro candidatas del teorema de la raíz racional fallan, así que es irreducible sobre los racionales; aun así tiene tres raíces reales, cerca de −0.391, 1.227 y 4.164.
x = 3 queda excluido porque anula el denominador (x−3)(x+3) y produce la forma indefinida 0/0. Al cancelar x − 3 queda un agujero en x = 3, no un valor válido.
No se factoriza. Leída como cuadrática en x, su discriminante es 16y(y − 1), que no es el cuadrado de un polinomio, a diferencia del conocido x² − 4xy + 4y².
256/625 = (4/5)⁴, porque 256 = 4⁴ y 625 = 5⁴. Como las dos partes comparten el exponente 4, la fracción se pliega en una sola potencia de 4/5, o bien 2⁸/5⁴.
Respuesta: 81/16 = (3/2)⁴. Factoriza 81 = 3⁴ y 16 = 2⁴, y aplica a^n/b^n = (a/b)^n. En decimal, 81/16 = 5.0625, que no es ninguna potencia entera de un número entero.
La respuesta es x + 66 cuando x ≥ −66, y −x − 66 cuando x < −66. El punto de corte es donde el interior cambia de signo, y se halla resolviendo x + 66 = 0.
La respuesta es x² para x ≥ 0 y −x² para x < 0. Partir en cero elimina el valor absoluto, y el resultado es una función impar y creciente en toda la recta.
La ecuación es 2((2w + 2) + w) = 64, que da un ancho de 10 m y un largo de 22 m. La clave está en traducir «dos más que el doble del ancho» como 2w + 2, y no como 2(w + 2).
La ecuación es 2((3w + 4) + w) = 96, que se resuelve dando un ancho de 11 m y un largo de 37 m. El mismo patrón de traducción que en la versión 2w + 2, pero con otro multiplicador.
La respuesta es −4x + 4y + 5. Un signo menos delante de un paréntesis multiplica por −1 cada término de dentro, así que cambian los tres signos, incluido el último.
La respuesta es x = 6. Al igualar las ecuaciones queda 2x² − 24x + 64 − a = 0, y que haya una sola intersección significa discriminante nulo, así que x = 24/4 = 6.