Hallar todos los valores de la constante k para los cuales la ecuación x^2 - (2k - 1)x + 1 = 0 tiene una raíz en el intervalo (0, 1) y la otra raíz en el intervalo (2, 3).

Step-by-step solution

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   Traducir la ubicación de las raíces a condiciones de signo, no al discriminante. Sea $f(x)=x^2-(2k-1)x+1$. La parábola abre hacia arriba, así que es negativa exactamente entre sus dos raíces. Exigir una raíz estrictamente dentro de $(0,1)$ y la otra estrictamente dentro de $(2,3)$ equivale a exigir las cuatro condiciones de signo

   $f(0)>0,\qquad f(1)<0,\qquad f(2)<0,\qquad f(3)>0.$

   Cada cambio estricto de signo obliga a que haya una raíz entre dos puntos de prueba consecutivos, y cuatro puntos con el patrón $+,-,-,+$ atrapan exactamente una raíz en $(0,1)$ y otra en $(2,3)$. La condición del discriminante sale gratis: un cambio de signo ya garantiza raíces reales.

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   Evaluar $f$ en los cuatro puntos de prueba.

   $f(0)=1$

   $f(1)=1-(2k-1)+1=3-2k$

   $f(2)=4-2(2k-1)+1=7-4k$

   $f(3)=9-3(2k-1)+1=13-6k$

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   Imponer las condiciones una a una.

   $f(0)=1>0\quad\text{— se cumple automáticamente para todo }k.$

   $f(1)=3-2k<0\;\Longrightarrow\;k>\frac32$

   $f(2)=7-4k<0\;\Longrightarrow\;k>\frac74$

   $f(3)=13-6k>0\;\Longrightarrow\;k<\frac{13}{6}$

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   Intersecar las restricciones. Como $\tfrac74>\tfrac32$, la condición que viene de $f(1)$ queda absorbida por la de $f(2)$, y solo queda

   $\frac74<k<\frac{13}{6}.$

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   Verificar con un argumento independiente usando el producto de las raíces. Por Vieta, el producto de las raíces es $1$, de modo que las dos raíces son recíprocas: $r$ y $1/r$. Si $r\in(2,3)$, entonces automáticamente $1/r\in\left(\tfrac13,\tfrac12\right)\subset(0,1)$ — la condición sobre la raíz pequeña no aporta información extra, exactamente como mostró el álgebra. La suma da

   $r+\frac1r=2k-1\;\Longrightarrow\;k=\frac12\left(r+\frac1r+1\right),$

   y $r+\tfrac1r$ es creciente para $r>1$, así que cuando $r$ recorre $(2,3)$, $k$ recorre $\left(\tfrac12\left(\tfrac52+1\right),\tfrac12\left(\tfrac{10}{3}+1\right)\right)=\left(\tfrac74,\tfrac{13}{6}\right)$ — el mismo intervalo.

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   Comprobar un valor interior y otro justo fuera. Para $k=2$: $x^2-3x+1=0$ da las raíces $0.382$ y $2.618$ — una en cada intervalo, como se pedía. Para $k=2.2$ (justo por encima de $13/6\approx2.1667$): las raíces son $0.325$ y $3.075$, y la raíz grande se ha escapado más allá de $3$, lo que confirma el extremo superior.