Desarrollar (x²y + 5y² − 5 − 2y³ − 2x + 6y − 5y⁴) por 5y².

Step-by-step solution

1. 1

   Observar qué le hace el monomio a cada término. Multiplicar por $5y^{2}$ multiplica cada coeficiente por $5$, deja intacta la potencia de $x$ y eleva la potencia de $y$ exactamente en $2$. Tener esa regla en mente convierte siete multiplicaciones en siete pequeños ajustes.

2. 2

   Tratar los dos términos que contienen x.

   $\left(x^{2}y\right)\left(5y^{2}\right)=5x^{2}y^{3},\qquad (-2x)\left(5y^{2}\right)=-10xy^{2}.$

3. 3

   Tratar el término constante. Una constante lleva $y^{0}$, así que se convierte en un término en $y^{2}$:

   $(-5)\left(5y^{2}\right)=-25y^{2}.$

   Este es el término que más a menudo se olvida: una constante también es un término.

4. 4

   Tratar las cuatro potencias puras de y.

   $\left(5y^{2}\right)\left(5y^{2}\right)=25y^{4},\qquad \left(-2y^{3}\right)\left(5y^{2}\right)=-10y^{5},$
   $(6y)\left(5y^{2}\right)=30y^{3},\qquad \left(-5y^{4}\right)\left(5y^{2}\right)=-25y^{6}.$

5. 5

   Reunir los siete términos en un orden razonable.

   $5x^{2}y^{3}-10xy^{2}-25y^{6}-10y^{5}+25y^{4}+30y^{3}-25y^{2}.$

   El grado más alto es $6$, y viene del término $-5y^{4}$, así que multiplicar por $5y^2$ elevó el grado del polinomio en $2$, tal como se esperaba.

6. 6

   Comprobar con una sustitución. En $x=y=1$ el paréntesis vale $1+5-5-2-2+6-5=-2$, y $5y^2=5$, así que el producto debería ser $-10$. Al sumar los siete términos de la respuesta en $x=y=1$: $5-10-25-10+25+30-25=-10$ ✓.