Usa la división sintética para dividir x³ − 2x + 3 entre x − 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Enumera los coeficientes con un relleno para la potencia que falta. La división sintética trabaja únicamente con coeficientes posicionales, así que todos los grados desde $3$ hasta $0$ necesitan una entrada. Escribir el polinomio cúbico como

   $x^3 + 0x^2 - 2x + 3$

   da la fila $1, \ 0, \ -2, \ 3$. Omitir el $0$ desplaza todo y es el error clásico aquí.

2. 2

   Lee el divisor sintético en el factor lineal. Para un divisor $x - r$ se usa el propio $r$, así que $x - 2$ significa que divides entre $2$ (un $2$ positivo, porque $r$ es la raíz de $x - 2 = 0$). Un divisor escrito $x + 2$ significaría en cambio $r = -2$.

3. 3

   Ejecuta las pasadas de multiplicar y sumar. Baja el $1$ principal y después multiplica repetidamente por $2$ y suma al coeficiente siguiente:

   $1 \ \rightarrow\ 0 + 2(1) = 2 \ \rightarrow\ -2 + 2(2) = 2 \ \rightarrow\ 3 + 2(2) = 7$

   La tabla completa queda

   $\begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & 0 & -2 & 3 \\ & & 2 & 4 & 4 \\ \hline & 1 & 2 & 2 & 7 \end{array}$

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   Interpreta la fila inferior. La última entrada es el resto; las anteriores son los coeficientes del cociente, con el grado rebajado en uno. A partir de $1, 2, 2$ y resto $7$:

   $\frac{x^3 - 2x + 3}{x - 2} = x^2 + 2x + 2 + \frac{7}{x - 2}$

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   Verifica con el teorema del resto y multiplicando hacia atrás. El resto debe ser igual a $f(2)$:

   $f(2) = 8 - 4 + 3 = 7 \ \checkmark$

   Y desarrollar el cociente confirma toda la identidad:

   $(x-2)(x^2 + 2x + 2) + 7 = x^3 - 2x - 4 + 7 = x^3 - 2x + 3 \ \checkmark$

   Como el resto no es $0$, $x - 2$ no es factor de $x^3 - 2x + 3$.