Resuelve -4.3289x² - 0.9671x + 40.328 = 0 para x.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee los coeficientes y anticipa la forma.

   $a=-4.3289,\qquad b=-0.9671,\qquad c=40.328$

   Como $a<0$ y $c>0$, la parábola, que abre hacia abajo, corta el eje a los dos lados del origen, así que cabe esperar una raíz negativa y otra positiva.

2. 2

   Calcula el discriminante.

   $\Delta=(-0.9671)^2-4(-4.3289)(40.328)=0.935282+698.303517=699.238799$

   $\sqrt{\Delta}=26.443124$

3. 3

   Aplica la fórmula general.

   $x=\frac{0.9671\pm 26.443124}{2(-4.3289)}=\frac{0.9671\pm 26.443124}{-8.6578}$

   $x_1=\frac{0.9671+26.443124}{-8.6578}=-3.16596,\qquad x_2=\frac{0.9671-26.443124}{-8.6578}=2.94255$

4. 4

   Verifica con la suma de las raíces. La primera fórmula de Cardano-Vieta dice que $x_1+x_2=-\tfrac{b}{a}$:

   $-\frac{-0.9671}{-4.3289}=-0.223405,\qquad -3.16596+2.94255=-0.22341\;\checkmark$

5. 5

   Verifica con el producto de las raíces. La segunda fórmula de Cardano-Vieta dice que $x_1x_2=\tfrac{c}{a}$:

   $\frac{40.328}{-4.3289}=-9.3159925,\qquad (-3.16596)(2.94255)=-9.3159956$

   Los dos coinciden ya en seis cifras significativas; la diferencia en la séptima no es más que el redondeo de las raíces a cinco decimales, y arrastrando más dígitos ($-3.1659572$ y $2.9425517$) el producto se ajusta hasta $-9.3159927$ $\checkmark$. Juntas, las dos comprobaciones de Cardano-Vieta fijan las dos raíces sin volver a aplicar la fórmula.