Resolver la desigualdad (x - 1)(x + 2)(x - 3) < 0 y escribir el conjunto solución en notación de intervalos.

Step-by-step solution

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   No desarrollar el producto. La desigualdad ya está factorizada, y esa es justamente la forma que conviene. Al multiplicar se obtiene $x^3-2x^2-5x+6$, que no dice nada sobre los signos. Un producto de factores es negativo o positivo según cuántos de sus factores son negativos, así que conviene mantener la forma factorizada y estudiar un factor a la vez.

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   Hallar los ceros de cada factor. Igualando cada factor a cero,

   $x-1=0\Rightarrow x=1,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   Estos son los únicos lugares donde el producto puede cambiar de signo, porque una función continua solo puede pasar de negativa a positiva atravesando el $0$.

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   Partir la recta real en $-2$, $1$ y $3$. Los tres ceros cortan la recta real en cuatro intervalos abiertos:

   $(-\infty,-2),\quad (-2,1),\quad (1,3),\quad (3,+\infty)$

   Dentro de cada intervalo el signo del producto es constante, así que un único punto de prueba decide todo el intervalo.

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   Probar un punto por intervalo. Conviene anotar el signo de cada factor y no su valor numérico:

   intervalo	$x$ de prueba	$x+2$	$x-1$	$x-3$	producto
   $(-\infty,-2)$	$-3$	$-$	$-$	$-$	$-$
   $(-2,1)$	$0$	$+$	$-$	$-$	$+$
   $(1,3)$	$2$	$+$	$+$	$-$	$-$
   $(3,+\infty)$	$4$	$+$	$+$	$+$	$+$

   Tres negativos multiplicados dan negativo y dos negativos dan positivo: esa es toda la regla.

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   Notar el patrón alternado. Como cada factor aparece elevado a la primera potencia (todas las raíces son simples), el signo se invierte en cada cero. Empezando por la derecha, donde todos los factores son positivos, los signos van $+,-,+,-$ conforme se avanza hacia la izquierda. Una vez conocido el signo del intervalo más a la derecha se pueden completar los demás sin probar nada: la tabla anterior es solo una comprobación.

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   Reunir los intervalos donde el producto es negativo y excluir los extremos. El producto es negativo en $(-\infty,-2)$ y en $(1,3)$. La desigualdad es estricta, así que $x=-2$, $x=1$ y $x=3$ (donde el producto vale $0$, y no menos que $0$) quedan fuera:

   $\boxed{(-\infty,-2)\cup(1,3)}$

   Comprobación rápida: $x=-3$ da $(-4)(-1)(-6)=-24<0$ y $x=2$ da $(1)(4)(-1)=-4<0$, mientras que $x=0$ da $(-1)(2)(-3)=6>0$, tal como se predijo.