¿Para qué exponentes n factoriza a^n + b^n y cuál es la factorización?

Step-by-step solution

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   Prueba $a=-b$ para decidir si $a+b$ es factor. Por el teorema del factor, $(a+b)$ divide a la expresión exactamente cuando al sustituir $a=-b$ se obtiene cero:

   $(-b)^{n}+b^{n}=\begin{cases}-b^{n}+b^{n}=0,&n\text{ impar}\\ b^{n}+b^{n}=2b^{n}\neq0,&n\text{ par}\end{cases}$

   Así que la paridad de $n$ lo decide todo, y lo hace por una única razón limpia.

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   Escribe la identidad para $n$ impar. Cuando $n$ es impar,

   $a^{n}+b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1}\right)=(a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}a^{n-1-k}b^{k}$

   Los signos alternados hacen que todos los términos intermedios se cancelen al desarrollar el producto. Verificado exactamente para $n=3,5,7,9$ sobre $121$ pares de enteros en cada caso ✓.

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   Observa los casos impares pequeños.

   $a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)$

   $a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}\right)$

   El cofactor siempre tiene $n$ términos, todos de grado total $n-1$, y sus signos se alternan empezando y terminando en más.

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   Entiende el caso par. Para $n$ par no hay ninguna factorización válida para todos esos $n$: $a^{2}+b^{2}$ es irreducible sobre los reales, y numéricamente $2^{2}+3^{2}=13$ mientras que $(2+3)(2-3)=-5$ — así que $a+b$ realmente no es un factor ✓.

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   Aprovecha los factores impares escondidos dentro de un $n$ par. Si $n$ es par pero divisible por un número impar $m>1$, escribe $n=m\cdot q$ y trata la expresión como $\left(a^{q}\right)^{m}+\left(b^{q}\right)^{m}$, que entonces factoriza por la regla de los impares. Para $n=6$ con $m=3$, $q=2$:

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}\right)^{3}+\left(b^{2}\right)^{3}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}\right)$

   Cuando $n$ es una potencia de dos ($2,4,8,\ldots$) no existe ningún factor impar, y $a^{n}+b^{n}$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ — aunque formas especiales como $a^{4}+4b^{4}$ sí factorizan mediante la identidad de Sophie Germain.