Resuelve 25x⁴ + 10x² - 4 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce la forma bicuadrada. Solo aparecen potencias pares de $x$, así que la sustitución $u=x^{2}$ convierte una cuártica en una cuadrática: $25u^{2}+10u-4=0.$ Esto funciona para cualquier $ax^{4}+bx^{2}+c$ y es mucho más rápido que la fórmula general de cuarto grado.

2. 2

   Resuelve la cuadrática en $u$. Con $a=25$, $b=10$, $c=-4$, $u=\frac{-10\pm\sqrt{100-4(25)(-4)}}{50}=\frac{-10\pm\sqrt{500}}{50}=\frac{-10\pm 10\sqrt5}{50}=\frac{-1\pm\sqrt5}{5}.$ Observa que $\sqrt{500}=10\sqrt5$, y el factor común $10$ se cancela con el $50$.

3. 3

   Deshaz la sustitución, caso por caso. Con $u=x^{2}$ cada valor de $u$ aporta dos valores de $x$, pero solo si $u\ge 0$. Como $\sqrt5=2.2360680$, $u_{1}=\frac{\sqrt5-1}{5}=0.2472136>0,\qquad u_{2}=\frac{-1-\sqrt5}{5}=-0.6472136<0.$

4. 4

   Extrae las soluciones reales de la raíz positiva. $x^{2}=\frac{\sqrt5-1}{5}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{5}}=\pm 0.4972058.$ Estas son las únicas soluciones reales, así que la gráfica de la cuártica corta al eje exactamente dos veces.

5. 5

   Extrae las soluciones imaginarias de la raíz negativa. $x^{2}=-\frac{1+\sqrt5}{5}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm i\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{5}}=\pm 0.8044959\,i.$ Olvidar comprobar el signo de $u$ antes de extraer la raíz cuadrada es el error habitual aquí: o bien inventa dos raíces reales falsas, o bien pierde dos complejas.

6. 6

   Verifica por sustitución. En $x=0.4972058$: $x^{2}=0.2472136$ y $x^{4}=0.06111456$, así que $25(0.06111456)+10(0.2472136)-4=1.5278640+2.4721360-4=0.0000000$. Como segunda comprobación, el producto de las cuatro raíces debe ser $c/a=-4/25=-0.16$, y $\left(0.4972058\right)^{2}\times\left(-\left(0.8044959\right)^{2}\right)=0.2472136\times(-0.6472136)=-0.1600000$.