Resuelve √(4 + 2x - x²) = x - 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Anota la condición de signo antes de elevar al cuadrado. Una raíz cuadrada real nunca es negativa, así que sea cual sea el valor de $x$, el miembro derecho debe cumplir

   $x-2\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge 2$

   Dejar esto anotado ahora es lo que te permitirá descartar después las raíces falsas en lugar de dejarte engañar por ellas.

2. 2

   Eleva al cuadrado los dos miembros. Elevar al cuadrado no es reversible, así que puede crear soluciones que no resuelven la ecuación original — precisamente por eso existe el paso 1:

   $4+2x-x^{2}=(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$

3. 3

   Pásalo todo a un miembro y factoriza.

   $4+2x-x^{2}-x^{2}+4x-4=0\quad\Longrightarrow\quad 6x-2x^{2}=0$

   $2x(3-x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{o}\ x=3$

4. 4

   Filtra los candidatos con la condición $x\ge2$. El valor $x=0$ la incumple de inmediato. Sustituirlo de todos modos muestra por qué: el miembro izquierdo es $\sqrt{4}=2$ mientras que el derecho es $0-2=-2$, así que $2=-2$ es falso. Es un artefacto de elevar al cuadrado, no una solución.

5. 5

   Verifica el candidato superviviente en la ecuación original. En $x=3$ el radicando es $4+6-9=1$, así que el miembro izquierdo es $\sqrt{1}=1$; el derecho es $3-2=1$. Los dos miembros valen $1$, de modo que $x=3$ es genuina.

6. 6

   Enuncia la solución.

   $x=3$