Simplifica (x + 2y)² − (x − 2y)².

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce la forma de diferencia de cuadrados. Dos cuadrados perfectos separados por un signo menos se factorizan siempre como

   $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$

   Con dos variables esto es mucho más seguro que desarrollar, donde los términos $x^2$ y $4y^2$ ofrecen bastantes ocasiones de perder un signo.

2. 2

   Pon nombre a las bases.

   $A = x + 2y, \qquad B = x - 2y$

   Las dos bases se diferencian solo en el signo del término $2y$, así que uno de los factores de abajo contendrá solo $y$ y el otro solo $x$.

3. 3

   Calcula A − B.

   $(x + 2y) - (x - 2y) = x + 2y - x + 2y = 4y$

   Restar $-2y$ se convierte en $+2y$, lo que duplica el término en $y$ en lugar de cancelarlo.

4. 4

   Calcula A + B y multiplica los factores.

   $(x + 2y) + (x - 2y) = 2x$

   $(x+2y)^2 - (x-2y)^2 = 4y \cdot 2x = 8xy$

5. 5

   Verifica desarrollando y con una comprobación numérica. Al desarrollar directamente:

   $(x^2 + 4xy + 4y^2) - (x^2 - 4xy + 4y^2) = 8xy$

   Solo sobreviven los términos cruzados. Con $x = 3$, $y = 2$: $(3+4)^2 - (3-4)^2 = 49 - 1 = 48$ y $8 \cdot 3 \cdot 2 = 48$.