Factoriza y simplifica la expresión algebraica (x + 6)^(−1/5) − (x + 6)^(−6/5).

Step-by-step solution

1. 1

   Comparar los dos exponentes en la recta numérica. Los exponentes son $-\tfrac15$ y $-\tfrac65$, y $-\tfrac65<-\tfrac15$, así que el menor es $-\tfrac65$. La regla es la misma que con exponentes positivos: se saca como factor común la base elevada al exponente más pequeño, que aquí es el más negativo.

2. 2

   Dividir cada término entre ese factor común. El primer término da $(x+6)^{-1/5-(-6/5)}=(x+6)^{5/5}=x+6$, y el segundo da $(x+6)^{0}=1$, de modo que $(x+6)^{-1/5}-(x+6)^{-6/5}=(x+6)^{-6/5}\bigl[(x+6)-1\bigr].$

3. 3

   Simplificar el corchete. $(x+6)-1=x+5 .$

4. 4

   Reescribir con exponente positivo. Como $(x+6)^{-6/5}=\dfrac{1}{(x+6)^{6/5}}$, $(x+6)^{-1/5}-(x+6)^{-6/5}=\frac{x+5}{(x+6)^{6/5}} .$

5. 5

   Anotar el dominio y comprobar un valor. La expresión necesita $x+6>0$, es decir $x>-6$, para que las potencias fraccionarias estén definidas y sean distintas de cero. En $x=-5$ la expresión original vale $1^{-1/5}-1^{-6/5}=0$, y la respuesta da $\frac{0}{1}=0$, así que ambas coinciden.