Factorizar 4m² − 4m − 5, o demostrar que no admite factorización entera.

Step-by-step solution

1. 1

   Probar parejas de enteros y anotar los fracasos. Con $4m^2=(2m)(2m)$ y término constante $-5$, las únicas opciones enteras son $(2m+1)(2m-5)$ y $(2m-1)(2m+5)$. Al desarrollar:

   $(2m+1)(2m-5)=4m^2-8m-5,\qquad(2m-1)(2m+5)=4m^2+8m-5$

   Ambas dan $\pm 8m$, nunca $-4m$, así que no existe factorización entera.

2. 2

   Confirmar con el discriminante. Con $a=4$, $b=-4$, $c=-5$:

   $\Delta=16+80=96$

   Como $96$ no es un cuadrado perfecto ($9^2=81$, $10^2=100$), las raíces son irracionales y la factorización entera era imposible desde el principio.

3. 3

   Hallar las raíces. $\sqrt{96}=4\sqrt6$, así que

   $m=\frac{4\pm 4\sqrt6}{8}=\frac{1\pm\sqrt6}{2}$

4. 4

   Escribir la factorización sobre los reales. Para raíces $r_1,r_2$ la cuadrática es igual a $a(m-r_1)(m-r_2)$; el coeficiente principal $4$ hay que arrastrarlo:

   $4m^2-4m-5=4\left(m-\frac{1+\sqrt6}{2}\right)\left(m-\frac{1-\sqrt6}{2}\right)$

5. 5

   Comprobar desarrollando la forma con raíces. El producto de las raíces es $\tfrac{1-6}{4}=-\tfrac54=\tfrac{c}{a}$ y su suma es $1=-\tfrac{b}{a}$ $\checkmark$. Numéricamente las raíces son $\approx 1.7247$ y $\approx-0.7247$; al sustituir la primera se obtiene $4(2.9746)-6.899-5\approx 0$ $\checkmark$.