Restar y simplificar: (6x + 5)/(x² − 8x + 12) − 6/(x − 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza primero todos los denominadores. Nunca busques un común denominador antes de factorizar: normalmente el segundo denominador ya es un factor del primero, como ocurre aquí:

   $x^{2}-8x+12=(x-2)(x-6),$

   ya que $(-2)+(-6)=-8$ y $(-2)(-6)=12$.

2. 2

   Lee el mínimo común denominador. Los denominadores son $(x-2)(x-6)$ y $(x-2)$, así que el mínimo común denominador es sencillamente $(x-2)(x-6)$: el primer denominador ya lo es. Solo la segunda fracción hay que ampliarla, por el factor que le falta, $(x-6)$:

   $\frac{6}{x-2}=\frac{6(x-6)}{(x-2)(x-6)}.$

3. 3

   Resta sobre el común denominador, conservando los paréntesis.

   $\frac{6x+5}{(x-2)(x-6)}-\frac{6(x-6)}{(x-2)(x-6)}=\frac{(6x+5)-6(x-6)}{(x-2)(x-6)}.$

4. 4

   Desarrolla el numerador con cuidado. El signo menos multiplica a los dos términos de $6(x-6)$:

   $(6x+5)-(6x-36)=6x+5-6x+36=41.$

   Los términos $6x$ se cancelan y queda una constante pura, señal clara de que el problema estaba construido para terminar así.

5. 5

   Escribe el resultado simplificado y anota las restricciones.

   $\frac{41}{(x-2)(x-6)}=\frac{41}{x^{2}-8x+12},\qquad x\neq 2,\ x\neq 6.$

   Como $41$ es primo y no comparte ningún factor con los paréntesis, esta es la forma totalmente simplificada.

6. 6

   Comprueba con un valor. En $x=3$ la expresión original vale $\frac{23}{9-24+12}-\frac{6}{1}=\frac{23}{-3}-6=-\frac{41}{3}$, y la respuesta da $\frac{41}{(1)(-3)}=-\frac{41}{3}$. Coinciden.