Suma y simplifica x/(x − 8) + (x − 8)/x.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica el común denominador y el dominio. Los denominadores $x-8$ y $x$ no comparten ningún factor, así que el mínimo común denominador es su producto:

   $x(x-8),\qquad x\neq 0,\ x\neq 8$

2. 2

   Reescribe cada fracción sobre ese denominador. Multiplica la primera por $\tfrac{x}{x}$ y la segunda por $\tfrac{x-8}{x-8}$:

   $\frac{x}{x-8}=\frac{x^2}{x(x-8)},\qquad\frac{x-8}{x}=\frac{(x-8)^2}{x(x-8)}$

3. 3

   Suma los numeradores.

   $\frac{x^2+(x-8)^2}{x(x-8)}$

4. 4

   Desarrolla y simplifica el numerador. $(x-8)^2=x^2-16x+64$, así que

   $x^2+x^2-16x+64=2x^2-16x+64=2\left(x^2-8x+32\right)$

5. 5

   Comprueba si algo se cancela. El paréntesis $x^2-8x+32$ tiene discriminante $64-128=-64<0$, así que no tiene factores lineales reales y, en particular, no comparte nada con $x$ ni con $x-8$. Por tanto la expresión ya está completamente simplificada:

   $\frac{2\left(x^2-8x+32\right)}{x(x-8)}$

   Comprobación numérica en $x=4$: a la izquierda $=\tfrac{4}{-4}+\tfrac{-4}{4}=-2$; a la derecha $=\tfrac{2(16-32+32)}{4(-4)}=\tfrac{32}{-16}=-2$ $\checkmark$.