Factoriza x⁵ + y⁵.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprobar que una suma se pueda factorizar siquiera. Las sumas de potencias solo se factorizan cuando el exponente es impar. La razón está en la raíz: $x=-y$ hace que $x^{5}+y^{5}=-y^{5}+y^{5}=0$, así que por el teorema del factor $(x+y)$ tiene que dividirla. Con un exponente par esa sustitución da $2y^{4}\neq0$, y por eso $x^{4}+y^{4}$ no tiene un factor así.

2. 2

   Aplicar la identidad de suma de potencias impares. Para $n$ impar,

   $x^{n}+y^{n}=(x+y)\left(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-\cdots+y^{n-1}\right)$

   Los signos se alternan: empiezan en positivo y, como $n-1$ es par y por tanto el número de términos $n$ es impar, terminan en positivo.

3. 3

   Escribir el caso $n=5$. El segundo factor tiene $5$ términos, cada uno de grado total $4$:

   $x^{5}+y^{5}=(x+y)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

4. 4

   Verificar desarrollando. Al multiplicar, la $x$ se distribuye y da $x^{5}-x^{4}y+x^{3}y^{2}-x^{2}y^{3}+xy^{4}$, y la $y$ da $x^{4}y-x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}-xy^{4}+y^{5}$. Todos los términos intermedios se cancelan por parejas y queda $x^{5}+y^{5}$ ✓: los signos alternados existen precisamente para forzar ese telescopaje. La identidad se confirmó en los $289$ pares enteros con $-8\le x,y\le8$ ✓.

5. 5

   Confirmar que el factor cuártico es irreducible sobre los enteros. Tratado como una cuadrática en $x^{2}$ no tiene ninguna estructura racional, y solo toma valores positivos para $x,y$ reales no nulos a la vez (por ejemplo, en $x=y=1$ vale $1-1+1-1+1=1$). Así que esta forma de dos factores está completa. Comprobación puntual con $x=2,y=1$: $32+1=33$ y $(3)(16-8+4-2+1)=3\cdot11=33$ ✓.