Resolver la desigualdad (x + 1)(x − 3) > 0.

Step-by-step solution

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   Dejarlo factorizado. Un producto es positivo cuando los dos factores comparten el mismo signo, y negativo cuando difieren. Desarrollarlo hasta $x^2-2x-3$ tiraría justamente la información que vuelve fácil este problema.

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   Hallar los ceros de cada factor.

   $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   El producto solo puede cambiar de signo en esos dos puntos, que cortan la recta en $(-\infty,-1)$, $(-1,3)$ y $(3,\infty)$.

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   Probar un valor en cada intervalo. En $x=-2$: $(-1)(-5)=5>0$ (los dos negativos). En $x=0$: $(1)(-3)=-3<0$ (signos distintos). En $x=4$: $(5)(1)=5>0$ (los dos positivos). El patrón es positivo, negativo, positivo.

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   Confirmar el patrón con la forma de la gráfica. Desarrollado, el coeficiente principal es $+1$, así que la parábola abre hacia arriba: baja por debajo del eje entre sus raíces y sube por encima fuera de ellas. Ese es exactamente el patrón de signos encontrado al probar valores — una comprobación independiente muy útil.

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   Elegir los intervalos y excluir las raíces. La desigualdad es estricta, así que los puntos donde el producto vale exactamente $0$ no cuentan:

   $x<-1\qquad\text{o}\qquad x>3,\qquad(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$

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   Verificar con un barrido. Evaluar el producto en $2001$ puntos desde $-10$ hasta $10$ y compararlo con el conjunto solución propuesto da coincidencia en absolutamente todos los puntos ✓.