Resuelve la ecuación |(2x − 3)/7| = (1/2)·|(x + 3)/4|.

Step-by-step solution

1. 1

   Saca las constantes positivas fuera de las barras. Como $|A/c| = |A|/c$ para $c > 0$,

   $\frac{|2x-3|}{7} = \frac12\cdot\frac{|x+3|}{4} = \frac{|x+3|}{8}$

   Los denominadores $7$, $4$ y el factor $\tfrac12$ son todos positivos, así que con ellos no hay que llevar ninguna cuenta de signos.

2. 2

   Elimina los denominadores. Multiplicando ambos miembros por $56$ (el mínimo común múltiplo de $7$ y $8$):

   $8|2x-3| = 7|x+3|$

   La ecuación ya está libre de fracciones, con solo enteros fuera de los dos valores absolutos.

3. 3

   Eleva al cuadrado sin riesgo. Ambos miembros son no negativos, así que aquí elevar al cuadrado es un paso reversible y no puede introducir raíces extrañas:

   $64(2x-3)^2 = 49(x+3)^2$

4. 4

   Desarrolla y agrupa en una ecuación cuadrática.

   $64\left(4x^2-12x+9\right) = 49\left(x^2+6x+9\right)$

   $256x^2 - 768x + 576 = 49x^2 + 294x + 441$

   $207x^2 - 1062x + 135 = 0 \quad \xrightarrow{\ \div 9\ } \quad 23x^2 - 118x + 15 = 0$

5. 5

   Resuelve la ecuación cuadrática. Con $a = 23$, $b = -118$, $c = 15$:

   $\Delta = 118^2 - 4(23)(15) = 13924 - 1380 = 12544 = 112^2$

   $x = \frac{118 \pm 112}{46} \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{230}{46} = 5 \quad \text{o} \quad x = \frac{6}{46} = \frac{3}{23}$

   Que el discriminante sea un cuadrado perfecto es la señal de que el problema se construyó para tener respuestas racionales.

6. 6

   Verifica ambas raíces en la ecuación original. Para $x = 5$: $\left|\tfrac{7}{7}\right| = 1$ y $\tfrac12\left|\tfrac{8}{4}\right| = 1$. Para $x = \tfrac{3}{23}$: $\left|\tfrac{-63/23}{7}\right| = \tfrac{9}{23}$ y $\tfrac12\left|\tfrac{72/23}{4}\right| = \tfrac{9}{23}$. Las dos se cumplen exactamente, así que el conjunto solución es $\left\{5,\ \tfrac{3}{23}\right\}$.