¿Para qué valores de x es positiva la fracción (2 − 3x)/(x(x − 1))?

Step-by-step solution

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   Halla todos los puntos donde el signo puede cambiar. Son los ceros del numerador y los del denominador:

   $2-3x=0\Rightarrow x=\tfrac23;\qquad x=0;\qquad x-1=0\Rightarrow x=1$

   Dividen la recta en cuatro intervalos: $(-\infty,0)$, $\left(0,\tfrac23\right)$, $\left(\tfrac23,1\right)$ y $(1,\infty)$.

2. 2

   Prueba el intervalo x < 0 (toma $x=-1$). Numerador $2-3(-1)=5>0$; denominador $(-1)(-2)=2>0$ (negativo por negativo). La fracción es positiva ✓.

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   Prueba 0 < x < 2/3 (toma $x=0.5$). Numerador $2-1.5=0.5>0$; denominador $(0.5)(-0.5)=-0.25<0$. La fracción es negativa ✗.

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   Prueba 2/3 < x < 1 (toma $x=0.8$). Numerador $2-2.4=-0.4<0$; denominador $(0.8)(-0.2)=-0.16<0$. Negativo entre negativo es positivo ✓.

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   Prueba x > 1 (toma $x=2$). Numerador $2-6=-4<0$; denominador $(2)(1)=2>0$. La fracción es negativa ✗.

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   Reúne los intervalos positivos. Los tres puntos críticos quedan excluidos — $x=\tfrac23$ anula la fracción (no la hace positiva) y $x=0,1$ la dejan indefinida:

   $\boxed{\{x<0\}\cup\left\{\tfrac23<x<1\right\}}$

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   Contrasta con la regla de alternancia. Los tres factores son simples (multiplicidad impar), así que el signo tiene que alternarse en cada punto crítico. Leyendo de izquierda a derecha, el patrón es $+,-,+,-$ — exactamente lo que dieron los cuatro valores de prueba, lo que confirma que ningún intervalo quedó con el signo cambiado.