Desarrolla y simplifica [2x − (raíz de 2)x − 1][2x + (raíz de 2)x − 1].

Step-by-step solution

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   Agrupa los términos en x dentro de cada corchete. Tanto $2x$ como $\sqrt2\,x$ son múltiplos de $x$, así que saca $x$ como factor común en cada par:

   $\left[(2 - \sqrt2)x - 1\right]\left[(2 + \sqrt2)x - 1\right]$

   Escritos así, los dos corchetes tienen visiblemente la misma forma, con los coeficientes conjugados $2 - \sqrt2$ y $2 + \sqrt2$.

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   Desarrolla con la propiedad distributiva. Multiplicando término a término:

   $= (2-\sqrt2)(2+\sqrt2)x^2 - (2-\sqrt2)x - (2+\sqrt2)x + 1$

   Deja por ahora los dos términos centrales separados; ahí es donde se van a cancelar los radicales.

3. 3

   Usa el producto de conjugados para el coeficiente de x². Como $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$,

   $(2-\sqrt2)(2+\sqrt2) = 2^2 - \left(\sqrt2\right)^2 = 4 - 2 = 2$

   Así que el término cuadrático es $2x^2$ — racional, aunque cada factor fuera irracional. Eso es justamente lo que aportan los conjugados.

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   Combina los dos términos lineales. Los radicales aparecen con signos opuestos y se cancelan:

   $-(2-\sqrt2)x - (2+\sqrt2)x = \left(-2 + \sqrt2 - 2 - \sqrt2\right)x = -4x$

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   Arma el resultado y compruébalo.

   $\left[(2-\sqrt2)x - 1\right]\left[(2+\sqrt2)x - 1\right] = 2x^2 - 4x + 1$

   Probando con $x = 1$: el lado izquierdo vale $(1-\sqrt2)(1+\sqrt2) = 1 - 2 = -1$, y el derecho $2 - 4 + 1 = -1$. Las raíces de $2x^2 - 4x + 1$ son $x = \frac{2 \pm \sqrt2}{2}$, los recíprocos de $2 \mp \sqrt2$, que es justo lo que predice la forma factorizada.