Resolver -t² - 6t + 28 = 0 para t, sabiendo que t es positivo.

Step-by-step solution

1. 1

   Quita el coeficiente principal negativo. Multiplicar una ecuación por $-1$ no altera en nada su conjunto solución (a diferencia de lo que ocurre con una desigualdad), y facilita todos los signos posteriores:

   $-t^2-6t+28=0\quad\Longleftrightarrow\quad t^2+6t-28=0$

2. 2

   Calcula el discriminante. Con $a=1$, $b=6$, $c=-28$,

   $\Delta=6^2-4(1)(-28)=36+112=148$

   Como $\Delta>0$ hay dos raíces reales distintas, y $148=4\cdot 37$ no es un cuadrado perfecto, así que serán irracionales.

3. 3

   Simplifica el radical antes de dividir.

   $\sqrt{148}=\sqrt{4\cdot 37}=2\sqrt{37}$

   Extraer ahora el $2$ es lo que permite que toda la fórmula se simplifique limpiamente en el paso siguiente.

4. 4

   Aplica la fórmula general y simplifica.

   $t=\frac{-6\pm 2\sqrt{37}}{2}=-3\pm\sqrt{37}$

   Tanto el $-6$ como el $2\sqrt{37}$ se dividen entre $2$; dividir solo uno de los dos es el error habitual.

5. 5

   Usa la condición $t>0$ para elegir la raíz. Con $\sqrt{37}\approx 6.0828$:

   $-3+\sqrt{37}\approx 3.0828>0,\qquad -3-\sqrt{37}\approx -9.0828<0$

   Solo sobrevive la primera. (Vieta lo confirma: el producto de las raíces es $-28<0$, así que exactamente una raíz es positiva.)

6. 6

   Verifica. Con $t=-3+\sqrt{37}$, se tiene $t^2=9-6\sqrt{37}+37=46-6\sqrt{37}$, de modo que

   $-t^2-6t+28=-46+6\sqrt{37}+18-6\sqrt{37}+28=0$

   exactamente, lo que confirma $t=-3+\sqrt{37}\approx 3.0828$.