Resuelve la inecuación (3 × 10^9)/4^x < 1 y da el menor valor entero de x que la satisface.

Step-by-step solution

1. 1

   Quita el denominador sin riesgo. Una exponencial $4^x$ es estrictamente positiva para todo $x$ real, así que multiplicar los dos miembros por ella no puede invertir la desigualdad:

   $3\times10^9<4^x,\qquad\text{es decir,}\qquad 4^x>3\times10^9$

   Esta es toda la razón por la que aquí no hace falta discutir casos, a diferencia de las inecuaciones con un denominador polinómico.

2. 2

   Toma logaritmos en base 4. Como $4>1$, la función $\log_4$ es creciente, de modo que conserva el sentido:

   $x>\log_4\!\left(3\times10^9\right)$

3. 3

   Convierte con la fórmula de cambio de base. Las calculadoras no tienen $\log_4$, así que usa

   $\log_4 N=\frac{\log_{10}N}{\log_{10}4}$

   Para el numerador, separa el producto con las propiedades de los logaritmos:

   $\log_{10}\!\left(3\times10^9\right)=\log_{10}3+\log_{10}10^9=0.4771+9=9.4771$

4. 4

   Divide entre log 4. Con $\log_{10}4=0.6020600$:

   $x>\frac{9.4771213}{0.6020600}=15.7411575\ldots$

   Así que el conjunto solución real es $x>15.7412$, o exactamente $x>\log_4\!\left(3\times10^9\right)$.

5. 5

   Lee el menor entero. El menor entero estrictamente mayor que $15.7412$ es

   $x=16$

   Una estimación rápida confirma el orden de magnitud: $4^{15}=2^{30}\approx1.07\times10^9$, que es menor que $3\times10^9$, mientras que $4^{16}=2^{32}\approx4.29\times10^9$, que es mayor.

6. 6

   Verifica a los dos lados de la frontera. En $x=16$: $\dfrac{3\times10^9}{4^{16}}=\dfrac{3\times10^9}{4.295\times10^9}=0.6985<1$ ✓. En $x=15$: $\dfrac{3\times10^9}{1.074\times10^9}=2.7933>1$ ✗. Y en la frontera exacta $x=15.7412$, el cociente vale $0.999941$ ✓.