Simplifica f(x) = (-x² - 289)/x e indica su dominio.

Step-by-step solution

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   Comprueba primero si el numerador factoriza. $-x^2-289 = -(x^2+289)$. Como $x^2+289$ es una suma de cuadrados, no tiene factores reales, así que no se cancela nada de golpe: separar la fracción es la única simplificación disponible.

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   Separa la fracción única en dos. La división se reparte entre los términos del numerador: $\frac{-x^2-289}{x} = \frac{-x^2}{x} - \frac{289}{x}.$ Esto es lícito porque las dos partes conservan el mismo denominador $x$.

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   Cancela un factor x en el primer término. $\dfrac{-x^2}{x} = \dfrac{-x\cdot x}{x} = -x$, válido porque ya estamos suponiendo $x \neq 0$. El segundo término no tiene ninguna $x$ en el numerador, así que se queda como $-\dfrac{289}{x}$.

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   Arma la forma simplificada. $f(x) = -x - \frac{289}{x} = -\left(x + \frac{289}{x}\right).$ La forma con paréntesis deja clara la estructura: $f$ es $-1$ por un número más un múltiplo de su recíproco.

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   Enuncia el dominio. El denominador original es $x$, así que hay que excluir $x=0$; el dominio es $x \in (-\infty,0)\cup(0,\infty)$. Observa que la forma simplificada tiene la misma restricción, de modo que no se creó ni se destruyó ningún hueco.

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   De propina, lee la estructura. Como $f(-x) = x + \dfrac{289}{x} = -f(x)$, la función es impar, y $x = 0$ es una asíntota vertical mientras que $y = -x$ es una asíntota oblicua.