Factoriza por completo 3x⁵ + 9x⁴ + 4x³ − 9x² − 15x − 10 y enumera sus raíces reales.

Step-by-step solution

1. 1

   Buscar una raíz racional. Las posibles raíces racionales son $\pm\frac{p}{q}$ con $p\mid 10$ y $q\mid 3$: $\pm1,\pm2,\pm5,\pm10,\pm\tfrac13,\pm\tfrac23,\pm\tfrac53,\pm\tfrac{10}{3}$. Probando $x=-2$:

   $3(-32)+9(16)+4(-8)-9(4)-15(-2)-10=-96+144-32-36+30-10=0,$

   así que $x=-2$ es raíz y $(x+2)$ es un factor. El agrupamiento improvisado no funciona con este polinomio, y por eso empezar buscando raíces es la jugada correcta.

2. 2

   Dividir entre $(x+2)$ mediante división sintética. Al bajar los coeficientes $3,\;9,\;4,\;-9,\;-15,\;-10$ y multiplicar por $-2$ en cada paso se obtiene la fila $3,\;3,\;-2,\;-5,\;-5$ con resto $0$:

   $3x^{5}+9x^{4}+4x^{3}-9x^{2}-15x-10=(x+2)\left(3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5\right).$

   Que el resto sea cero confirma que la raíz era correcta.

3. 3

   Mostrar que la cuártica no tiene raíz racional y factorizarla de todos modos en cuadráticas. Al probar $\pm1,\pm5,\pm\tfrac13,\pm\tfrac53$ en $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5$ nada da cero (por ejemplo, el valor en $x=-1$ es $-2$), de modo que no existe ningún otro factor lineal sobre $\mathbb{Q}$. En su lugar, planteamos

   $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5=(3x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d).$

4. 4

   Igualar coeficientes y resolver el sistema pequeño. Al desarrollar el producto queda

   $3x^{4}+(3c+a)x^{3}+(3d+ac+b)x^{2}+(ad+bc)x+bd,$

   así que $3c+a=3$, $3d+ac+b=-2$, $ad+bc=-5$ y $bd=-5$. Probar $b=-5$ obliga a $d=1$, y entonces $c=1$, $a=0$ satisface las cuatro ecuaciones. Por lo tanto

   $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5=(3x^{2}-5)(x^{2}+x+1).$

   Comprobación desarrollando: $3x^{4}+3x^{3}+3x^{2}-5x^{2}-5x-5=3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5$ ✓.

5. 5

   Armar la factorización completa y leer las raíces reales.

   $3x^{5}+9x^{4}+4x^{3}-9x^{2}-15x-10=(x+2)(3x^{2}-5)(x^{2}+x+1).$

   Igualando cada factor a cero: $x=-2$; de $3x^{2}=5$ resulta $x=\pm\sqrt{\tfrac53}=\pm\tfrac{\sqrt{15}}{3}\approx\pm1.290994$; y $x^{2}+x+1$ tiene discriminante $1-4=-3<0$, por lo que no aporta ninguna raíz real. Así que hay exactamente tres raíces reales.

6. 6

   Confirmar numéricamente. Al resolver la quíntica numéricamente se obtienen $-2$, $\pm1.2909944$ y el par complejo $-0.5\pm0.8660254i$ — exactamente $-\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}{2}i$, las raíces cúbicas primitivas de la unidad, tal como predice $x^{2}+x+1$ ✓.