Sea f(x) = a(x − 5)³ + b(x − 5) + 7. Si la solución de 1 ≤ f(x) ≤ 13 es k − 9 ≤ x ≤ 3k + 7, halla k.

Step-by-step solution

1. 1

   Reduce la función a su núcleo impar. Escribe $t=x-5$ y $g(t)=at^3+bt$. Entonces

   $f(x)=g(x-5)+7$

   y $g$ es una función impar, porque $g(-t)=-at^3-bt=-g(t)$. Toda expresión del tipo cubo más lineal se comporta así: no hay potencias pares, así que nada rompe la simetría.

2. 2

   Convierte la imparidad en simetría puntual de $f$. Para cualquier $t$,

   $f(5+t)+f(5-t)=\left[g(t)+7\right]+\left[g(-t)+7\right]=g(t)-g(t)+14=14$

   de modo que la gráfica de $f$ es simétrica respecto del punto $(5,7)$: lo que ocurre $t$ unidades a la derecha de $x=5$ se refleja, invertido, $t$ unidades a la izquierda.

3. 3

   Observa que las cotas también son simétricas respecto de 7. La restricción es

   $1\le f(x)\le 13\iff |f(x)-7|\le 6$

   ya que $1=7-6$ y $13=7+6$. Una condición simétrica respecto del valor central, impuesta sobre una función simétrica respecto del punto central, debe tener un conjunto solución simétrico respecto de $x=5$.

4. 4

   Obliga al intervalo dado a estar centrado en 5. El punto medio de $\left[k-9,\;3k+7\right]$ es

   $\frac{(k-9)+(3k+7)}{2}=\frac{4k-2}{2}=2k-1$

   Igualándolo a $5$:

   $2k-1=5\;\Longrightarrow\;k=3$

5. 5

   Comprueba que $k=3$ da un intervalo genuino. Con $k=3$ los extremos son $k-9=-6$ y $3k+7=16$, así que el conjunto solución es $[-6,16]$: un intervalo válido y no vacío cuyo punto medio es $\tfrac{-6+16}{2}=5\;\checkmark$, que coincide con el centro de simetría. Su semiamplitud $11$ condiciona después a $a$ y $b$ mediante $f(16)=13$, pero $k$ queda fijado solo por la simetría.