Demostrar que la ecuación x² + ax + a − 2 = 0 tiene dos raíces reales distintas para todo valor real de a.

Step-by-step solution

1. 1

   Recordar qué controla la cantidad de raíces reales. Para $Ax^2+Bx+C=0$ con $A\neq 0$, el discriminante

   $\Delta=B^{2}-4AC$

   lo decide todo: $\Delta>0$ da dos raíces reales distintas, $\Delta=0$ una raíz doble y $\Delta<0$ ninguna raíz real. Así que toda la demostración se reduce a probar que $\Delta>0$ para todo $a$.

2. 2

   Identificar los coeficientes. Cuidado aquí — la letra $a$ es un parámetro, no el coeficiente principal:

   $A=1,\qquad B=a,\qquad C=a-2.$

3. 3

   Calcular el discriminante como función de a.

   $\Delta=a^{2}-4(1)(a-2)=a^{2}-4a+8.$

4. 4

   Completar el cuadrado para dejar el signo a la vista. La mitad de $-4$ es $-2$, y $(-2)^2=4$:

   $\Delta=\left(a^{2}-4a+4\right)+4=(a-2)^{2}+4.$

   Desarrollando de vuelta se obtiene $a^2-4a+4+4=a^2-4a+8$, lo que confirma la reescritura.

5. 5

   Sacar la conclusión. Un cuadrado real nunca es negativo, así que $(a-2)^2\ge 0$ y por lo tanto

   $\Delta=(a-2)^{2}+4\ge 4>0$

   para todo $a$ real. El discriminante es estrictamente positivo — de hecho, se mantiene alejado de cero —, así que la ecuación siempre tiene dos raíces reales distintas.

6. 6

   Notar dónde está el mínimo. El discriminante más pequeño posible, $\Delta=4$, se alcanza en $a=2$, donde la ecuación queda $x^2+2x+0=0$ con raíces $x=0$ y $x=-2$: distintas, tal como se prometió.