Desarrolla (x − 2/√x)⁴.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea el patrón del binomio. Para una cuarta potencia los coeficientes son la quinta fila del triángulo de Pascal, $1,4,6,4,1$, con signos alternados porque el segundo término se resta:

   $(A-B)^4=A^4-4A^3B+6A^2B^2-4AB^3+B^4$

   Toma $A=x$ y $B=\dfrac{2}{\sqrt{x}}=2x^{-1/2}$. Reescribir $B$ con exponente fraccionario desde el principio es lo que mantiene sencilla la aritmética.

2. 2

   Fíjate en cómo van a escalonarse los exponentes. Cada término cambia un factor $A$ (exponente $+1$) por un factor $B$ (exponente $-\tfrac12$), así que el exponente baja $\tfrac32$ de un término al siguiente: $4,\ \tfrac52,\ 1,\ -\tfrac12,\ -2$. Saberlo de antemano detecta cualquier desliz.

3. 3

   Calcula los tres primeros términos.

   $A^4=x^4$

   $-4A^3B=-4x^3\cdot2x^{-1/2}=-8x^{5/2}$

   $6A^2B^2=6x^2\cdot\frac{4}{x}=24x$

   El tercer término es donde la raíz cuadrada desaparece por completo, ya que $B^2=4x^{-1}$.

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   Calcula los dos últimos términos.

   $-4AB^3=-4x\cdot\frac{8}{x^{3/2}}=-32x^{-1/2}=-\frac{32}{\sqrt{x}}$

   $B^4=\left(2x^{-1/2}\right)^4=\frac{16}{x^2}$

5. 5

   Arma el desarrollo.

   $\left(x-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^4=x^4-8x^{5/2}+24x-\frac{32}{\sqrt{x}}+\frac{16}{x^2}$

   El dominio es $x>0$, porque $\sqrt{x}$ está en un denominador.

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   Verifica numéricamente en varios valores de x. En $x=1$ tanto la expresión original como el desarrollo dan $1$; en $x=0.3$ ambos dan $126.1678$; en $x=2.7$ ambos dan $4.83477$; en $x=5.5$ ambos dan $466.40627$ ✓. La coincidencia en cuatro puntos bien repartidos, uno de ellos por debajo de $1$, confirma todos los coeficientes y exponentes.