Halla las soluciones reales de la ecuación 7(s + 9)² − 20(s + 9) = 3.

Step-by-step solution

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   Detecta el bloque que se repite. La expresión $s+9$ aparece al cuadrado y elevada a la primera potencia, y en ningún otro sitio. Esa es la señal para hacer un cambio de variable: la ecuación es cuadrática en el bloque, no en $s$ directamente.

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   Haz u = s + 9. La ecuación pasa a ser $7u^2-20u=3$, y al mover el $3$ al otro lado queda la forma estándar $7u^2-20u-3=0$. Desarrollar primero el cuadrado también funcionaría, pero produce números más grandes sin ninguna ventaja.

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   Factoriza la cuadrática en u. Buscando dos números cuyo producto sea $7\cdot(-3)=-21$ y cuya suma sea $-20$ salen $-21$ y $1$, así que $7u^2-21u+u-3=7u(u-3)+(u-3)=(7u+1)(u-3)=0$. Por tanto $u=3$ o $u=-\frac17$.

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   Deshaz el cambio de variable. Como $u=s+9$, se tiene $s=u-9$. De $u=3$: $s=-6$. De $u=-\frac17$: $s=-\frac17-9=-\frac{64}{7}$.

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   Comprueba las dos raíces en la ecuación original. Para $s=-6$: $s+9=3$, así que $7(9)-20(3)=63-60=3$. Para $s=-\frac{64}{7}$: $s+9=-\frac17$, así que $7\cdot\frac{1}{49}+\frac{20}{7}=\frac17+\frac{20}{7}=3$. Las dos dan exactamente $3$.