Resuelve 0 = 0.7x + 6.804e-10 * x⁴ - 1210.23 para todos los x reales.

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe la cuártica en forma estándar. Reordenando por grado,

   $6.804\times10^{-10}\,x^{4}+0.7x-1210.23=0.$

   No hay términos en $x^{3}$ ni en $x^{2}$, pero eso no vuelve la ecuación resoluble por sustitución — el término impar $x^{1}$ descarta una reducción bicuadrada.

2. 2

   Resiste la tentación de descartar el término cuártico. Como $6.804\times10^{-10}$ parece despreciable, tienta resolver $0.7x=1210.23$ y dar $x\approx 1728.9$. Eso está mal: en $x=1728.9$ el término cuártico vale

   $6.804\times10^{-10}\times(1728.9)^{4}\approx 6079,$

   que es cinco veces la constante $1210.23$, no una corrección pequeña. Un coeficiente pequeño no es un término pequeño en cuanto $x$ se hace grande — aquí el cruce está alrededor de $x\approx 1000$, muy por debajo de la estimación ingenua.

3. 3

   Acota las raíces muestreando. Evaluando $f(x)=6.804\times10^{-10}x^{4}+0.7x-1210.23$:

   $f(0)=-1210.23,\quad f(500)=-817.71,\quad f(1000)=+170.17,\quad f(1500)=+3284.30.$

   Así que hay una raíz en $(500,1000)$. Barriendo $[-5000,5000]$ se encuentran exactamente dos cambios de signo: uno cerca de $947$ y otro cerca de $-1332$ — la cuártica tiene dos raíces reales y dos complejas.

4. 4

   Biseca cada intervalo. Partiéndolo por la mitad repetidamente hasta que $|f|<10^{-6}$:

   $x_{+}\approx 947.035581,\qquad x_{-}\approx-1332.142808.$

   El método de Newton desde $x_{0}=1000$ converge al mismo valor positivo en tres iteraciones, usando $f'(x)=2.7216\times10^{-9}x^{3}+0.7$.

5. 5

   Sustituye las dos de vuelta. En $x=947.035581$: el término cuártico vale $547.31$ y el término lineal $662.92$, que sumados con $-1210.23$ dan $\approx-3\times10^{-7}$ ✓. En $x=-1332.142808$: el término cuártico vale $2142.73$ y el lineal $-932.50$, y de nuevo cancelan la constante ✓. Fíjate en que en las raíces verdaderas los dos términos tienen tamaños comparables — justo lo contrario de la suposición que producía $1728.9$.