Calcula el determinante de la matriz 4x4 de filas (19,5,7,8), (18,4,4,4), (9,1,2,1) y (9,2,3,4).

Step-by-step solution

1. 1

   Usa la fila 3 para atacar la primera columna. La fila $3$ empieza con $9$, y las otras entradas de la primera columna son $19$, $18$ y $9$. Restar múltiplos de la fila $3$ (una operación que conserva el determinante) da

   $R_1\leftarrow R_1-2R_3,\quad R_2\leftarrow R_2-2R_3,\quad R_4\leftarrow R_4-R_3$

   $\begin{vmatrix}1&3&3&6\\0&2&0&2\\9&1&2&1\\0&1&1&3\end{vmatrix}$

   Fíjate en que $19-18=1$, así que la primera columna no queda del todo limpia: hace falta un paso más.

2. 2

   Termina de limpiar la columna con el nuevo 1 principal.

   $R_3\leftarrow R_3-9R_1\quad\Longrightarrow\quad (0,\ 1-27,\ 2-27,\ 1-54)=(0,-26,-25,-53)$

   $\begin{vmatrix}1&3&3&6\\0&2&0&2\\0&-26&-25&-53\\0&1&1&3\end{vmatrix}$

3. 3

   Desarrolla por la primera columna. Solo queda el $1$ principal, con signo de cofactor $+$:

   $\det=1\cdot\begin{vmatrix}2&0&2\\-26&-25&-53\\1&1&3\end{vmatrix}$

4. 4

   Simplifica y evalúa el 3×3. Extrae un $2$ de la primera fila:

   $2\begin{vmatrix}1&0&1\\-26&-25&-53\\1&1&3\end{vmatrix}=2\Big[1(-75+53)-0+1(-26+25)\Big]=2\big[-22-1\big]=2(-23)=-46$

   $\boxed{-46}$

5. 5

   Contrasta el tamaño con el problema hermano. La matriz muy parecida de filas $(18,5,7,8),(18,3,4,4),(9,1,1,1),(9,2,3,4)$ tiene determinante $9$; cambiar cuatro entradas aquí lo ha llevado a $-46$, con cambio de signo incluido. Como los determinantes son funciones multilineales alternadas, no cabe esperar ninguna relación suave entre los dos valores: cada uno hay que calcularlo por separado.