Factoriza x¹⁰⁵ - 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Observa que aquí la paridad es irrelevante. A diferencia de una suma de potencias, una diferencia $x^{n}-1$ siempre tiene a $x-1$ como factor, para todo entero positivo $n$. El teorema del factor lo explica en una línea: sustituir $x=1$ da $1^{105}-1=0$ ✓ sin importar el exponente.

2. 2

   Aplica la identidad de la diferencia de potencias. Con $a=x$, $b=1$ y $n=105$:

   $a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$

   Todos los signos del cofactor son positivos — esta es la diferencia estructural respecto al caso de la suma, donde se alternan.

3. 3

   Escribe la factorización.

   $x^{105}-1=(x-1)\left(x^{104}+x^{103}+x^{102}+\cdots+x+1\right)$

   El cofactor es la suma geométrica finita $\displaystyle\sum_{k=0}^{104}x^{k}$, que es justamente la razón por la que la identidad equivale a la fórmula de la serie geométrica $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}=\frac{x^{n}-1}{x-1}$ para $x\neq1$.

4. 4

   Verifica por telescopaje y numéricamente. Al multiplicar, $x\cdot\sum x^{k}$ produce los grados de $1$ a $105$ y $-1\cdot\sum x^{k}$ los grados de $0$ a $104$; todos los grados de $1$ a $104$ se cancelan y queda $x^{105}-1$ ✓. La evaluación exacta con enteros en $x=2,3,5,-2,-3$ coincide en todos los casos ✓.

5. 5

   Lleva la factorización más lejos usando los divisores de 105. Como $105=3\times5\times7$, la expresión también se descompone siguiendo cada divisor — por ejemplo

   $x^{105}-1=\left(x^{5}\right)^{21}-1=\left(x^{5}-1\right)\left(x^{100}+x^{95}+\cdots+1\right)$

   En general, $x^{d}-1$ divide a $x^{105}-1$ para todo divisor $d$ de $105$, a saber $1,3,5,7,15,21,35,105$. La factorización completa sobre $\mathbb{Q}$ es el producto de los polinomios ciclotómicos $\Phi_{d}(x)$ sobre exactamente esos ocho divisores.