Evalúa el logaritmo en base 3 de 18, dividido entre la cantidad 2 más el logaritmo en base 3 de 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee bien la notación. El original estaba escrito con dos puntos, $\log_3 18:(2+\log_3 2)$, y en esa convención "$a:b$" significa $a\div b$. Así que la tarea es evaluar la fracción única $\dfrac{\log_3 18}{2+\log_3 2}$.

2. 2

   Factoriza 18 para que aparezca una potencia de la base. La base es $3$, así que busca factores iguales a $3$:

   $18=9\cdot 2=3^2\cdot 2$

   En esto consiste toda la idea: el denominador ya contiene un $2$ suelto y un $\log_3 2$, lo que sugiere que el numerador esconde esas mismas dos piezas.

3. 3

   Separa el logaritmo con la regla del producto. Usando $\log_b(MN)=\log_b M+\log_b N$,

   $\log_3 18=\log_3(3^2)+\log_3 2=2+\log_3 2$

   ya que $\log_3(3^2)=2$ exactamente.

4. 4

   Sustituye y cancela. El numerador es ahora idéntico al denominador:

   $\frac{\log_3 18}{2+\log_3 2}=\frac{2+\log_3 2}{2+\log_3 2}=1$

   La cancelación es válida porque $\log_3 2\approx 0.6309>0$, así que el denominador vale unos $2.63$ y desde luego no es cero.

5. 5

   Confirma numéricamente. $\log_3 18=\frac{\ln 18}{\ln 3}=2.6309298$ y $2+\log_3 2=2+0.6309298=2.6309298$. Los dos coinciden hasta el séptimo decimal, así que el cociente es exactamente $1$.