Resuelve la inecuación 9x² + 48x − 576 ≥ 0.

Step-by-step solution

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   Saca el factor común. Los tres coeficientes son divisibles entre $3$:

   $9x^2+48x-576=3\left(3x^2+16x-192\right)$

   Como $3>0$, dividir la inecuación entre él no cambia nada:

   $3x^2+16x-192\ge0$

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   Comprueba si factoriza, y descubre que no. Factorizar exigiría enteros con producto $3\times(-192)=-576$ y suma $16$. Recorriendo los pares de factores de $576$ —$(1,576),(2,288),(3,192),(4,144),(6,96),(8,72),(9,64),(12,48),(16,36),(18,32),(24,24)$— las sumas con signo alcanzables son $\pm575,\pm286,\pm189,\pm140,\pm90,\pm64,\pm55,\pm36,\pm20,\pm14,0$. Ninguna es $16$, así que el trinomio es irreducible sobre los enteros. Una factorización que se cita a menudo, $(x-6)(3x+32)$, se desarrolla como $3x^2+14x-192$ y no como $3x^2+16x-192$: su término central está mal y, en efecto, $9(6)^2+48(6)-576=36\neq0$, así que $x=6$ no es raíz en absoluto.

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   Usa entonces la fórmula general. Para $3x^2+16x-192=0$:

   $\Delta=16^2-4(3)(-192)=256+2304=2560$

   $x=\frac{-16\pm\sqrt{2560}}{6}$

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   Simplifica el radical. $2560=256\times10$ y $\sqrt{256}=16$, así que $\sqrt{2560}=16\sqrt{10}$:

   $x=\frac{-16\pm16\sqrt{10}}{6}=\frac{-8\pm8\sqrt{10}}{3}$

   Numéricamente, con $\sqrt{10}=3.16228$:

   $x_1=\frac{-8+25.2982}{3}=5.76607,\qquad x_2=\frac{-8-25.2982}{3}=-11.09941$

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   Elige los intervalos según hacia dónde abre la parábola. El coeficiente principal $9$ (o $3$ tras la reducción) es positivo, así que la parábola abre hacia arriba y es $\ge0$ fuera de las dos raíces:

   $x\le\frac{-8-8\sqrt{10}}{3}\qquad\text{o}\qquad x\ge\frac{-8+8\sqrt{10}}{3}$

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   Incluye los extremos y verifica. La desigualdad no es estricta, así que las propias raíces —donde la expresión vale exactamente $0$— pertenecen al conjunto solución. Comprobación: las dos raíces dan $9x^2+48x-576=0$ con un error inferior a $10^{-9}$ ✓, y un barrido de $6001$ puntos desde $-30$ hasta $30$ coincide con este conjunto solución en todos ellos ✓. En forma de intervalos: $\left(-\infty,\tfrac{-8-8\sqrt{10}}{3}\right]\cup\left[\tfrac{-8+8\sqrt{10}}{3},\infty\right)$.