Sean a y b números reales. Las desigualdades simultáneas x² − 5x + a < 0 y x² + 3x + b < 0 tienen como conjunto solución 1 < x < 2. Halla el par (a, b).

Step-by-step solution

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   Traducir el planteamiento. Cada desigualdad tiene a la izquierda una parábola que abre hacia arriba, así que cada conjunto solución es un intervalo abierto entre las dos raíces de esa cuadrática. La solución del sistema es la intersección de los dos intervalos, y sabemos que

   $\left(\alpha_1, \beta_1\right) \cap \left(\alpha_2, \beta_2\right) = (1, 2)$

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   Usar Vieta para fijar las sumas de las raíces. El coeficiente de $x$ determina cada suma sin importar cuánto valgan $a$ y $b$:

   $\alpha_1 + \beta_1 = 5, \qquad \alpha_2 + \beta_2 = -3$

   Esta es la restricción que hace resoluble el problema: los intervalos no se pueden elegir libremente.

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   Ajustar los extremos de la intersección. La intersección $(1,2)$ recibe su extremo izquierdo $1$ y su extremo derecho $2$ de un intervalo distinto cada uno. Probemos con $\alpha_1 = 1$: entonces $\beta_1 = 5 - 1 = 4$, así que el primer intervalo es $(1, 4)$ y aporta el extremo izquierdo. El segundo debe aportar el extremo derecho, de modo que $\beta_2 = 2$ y $\alpha_2 = -3 - 2 = -5$, lo que da $(-5, 2)$.

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   Leer a y b a partir de los productos. La regla del producto de Vieta da el término constante:

   $a = \alpha_1\beta_1 = 1 \times 4 = 4, \qquad b = \alpha_2\beta_2 = (-5)(2) = -10$

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   Verificar las factorizaciones y la intersección. $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) < 0$ en $(1,4)$, y $x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2) < 0$ en $(-5,2)$. Su intersección es $(1,4) \cap (-5,2) = (1,2)$, exactamente lo pedido.

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   Comprobar que ninguna otra asignación funciona. Si fuera el segundo intervalo el que aportara el extremo izquierdo, entonces $\alpha_2 = 1$ y $\beta_2 = -4$ — imposible, porque se exige $\beta_2 > \alpha_2$. Así que $(a,b) = (4,-10)$ es la única solución.