Factorizar x² + x − (a² − a), tratando a como constante.

Step-by-step solution

1. 1

   Quitar el paréntesis exterior con cuidado. El signo menos se distribuye sobre los dos términos de adentro:

   $x^2+x-\left(a^2-a\right)=x^2+x-a^2+a$

   Olvidar el cambio de signo del $-a$ (y escribir $-a$ en lugar de $+a$) es la trampa principal.

2. 2

   Tratarla como una cuadrática mónica en x. El coeficiente de $x$ es $1$ y el término constante es $a-a^2$. Entonces se necesitan dos expresiones cuya suma sea $1$ y cuyo producto sea $a-a^2=a(1-a)$.

3. 3

   Detectar el par. Los dos candidatos evidentes son $a$ y $1-a$:

   $a+(1-a)=1\ \checkmark,\qquad a(1-a)=a-a^2\ \checkmark$

   Ambas condiciones se cumplen idénticamente en $a$, y eso es lo que hace que funcione para todo valor del parámetro.

4. 4

   Escribir la factorización.

   $x^2+x-\left(a^2-a\right)=(x+a)\bigl(x+(1-a)\bigr)=(x+a)(x-a+1)$

5. 5

   Verificar desarrollando simbólicamente.

   $(x+a)(x-a+1)=x^2-ax+x+ax-a^2+a=x^2+x-a^2+a\ \checkmark$

   Los términos $\pm ax$ se cancelan exactamente, y por eso en el medio solo sobrevive $x$.

6. 6

   Leer las raíces y una comprobación útil. La expresión se anula en $x=-a$ y en $x=a-1$. Su suma es $-1=-b/a$ ✓ y su producto es $-a(a-1)=a-a^2$ ✓, que coincide con el término constante. Numéricamente, comparar la expresión original con la forma factorizada en $60$ pares aleatorios $(x,a)$ dentro de $[-6,6]$ da coincidencia hasta la precisión de máquina en todos los casos ✓.