Resuelve la inecuación compuesta 11 < 60(1 + x)/7 < 12.

Step-by-step solution

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   Lee la estructura antes de tocar nada. Es una desigualdad de tres partes: la misma cantidad $\frac{60(1+x)}{7}$ queda atrapada entre $11$ y $12$. En realidad son dos desigualdades a la vez, así que cada operación debe aplicarse a las tres partes, no solo a dos.

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   Quita el denominador multiplicando las tres partes por 7. Multiplicar una desigualdad por un número positivo conserva los dos sentidos, y $7>0$, así que nada se invierte:

   $77<60(1+x)<84$

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   Divide las tres partes entre 60. De nuevo $60>0$, así que los sentidos se mantienen:

   $\frac{77}{60}<1+x<\frac{84}{60}=\frac{7}{5}$

   Reducir $\tfrac{84}{60}$ a $\tfrac{7}{5}$ ahora deja limpia la aritmética final.

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   Resta 1 en las tres partes para aislar x. Sumar o restar nunca cambia el sentido de una desigualdad:

   $\frac{77}{60}-\frac{60}{60}<x<\frac{7}{5}-\frac{5}{5}$

   $\frac{17}{60}<x<\frac{2}{5}$

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   Comprueba los dos extremos por sustitución. En $x=\tfrac{17}{60}$: $1+x=\tfrac{77}{60}$, así que $\frac{60}{7}\cdot\frac{77}{60}=\frac{77}{7}=11$, exactamente la cota inferior. En $x=\tfrac{2}{5}$: $1+x=\tfrac{7}{5}$, así que $\frac{60}{7}\cdot\frac{7}{5}=12$, exactamente la cota superior. Como las dos desigualdades son estrictas, los extremos quedan excluidos y resulta el intervalo abierto $\left(\tfrac{17}{60},\tfrac{2}{5}\right)$.

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   Contrasta con un punto de prueba decimal. $\tfrac{17}{60}\approx0.2833$ y $\tfrac{2}{5}=0.4$. Tomando $x=0.35$ dentro del intervalo se obtiene $\frac{60(1.35)}{7}=\frac{81}{7}\approx11.57$, cómodamente entre $11$ y $12$ ✓.