Resuelve x/(x + 100) - (x + 25)/(x + 125) = 0.1.

Step-by-step solution

1. 1

   Anota el dominio y reescribe $0.1$ como fracción. Los denominadores se anulan en $x=-100$ y $x=-125$, así que esos valores quedan excluidos desde el principio. Escribe además $0.1=\dfrac{1}{10}$ para que toda la ecuación se mantenga en aritmética exacta.

2. 2

   Combina el miembro izquierdo sobre el común denominador $(x+100)(x+125)$.

   $\frac{x(x+125)-(x+25)(x+100)}{(x+100)(x+125)}$

   Al desarrollar los dos productos:

   $x(x+125)=x^{2}+125x,\qquad (x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500$

3. 3

   Observa cómo el numerador se reduce a una constante. Los términos cuadráticos y los lineales se cancelan por completo:

   $\left(x^{2}+125x\right)-\left(x^{2}+125x+2500\right)=-2500$

   de modo que la ecuación es simplemente

   $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}$

   Aquí está el núcleo estructural del problema: el miembro izquierdo es siempre negativo donde $(x+100)(x+125)>0$, así que la única posibilidad de igualar un valor positivo $\tfrac{1}{10}$ es el intervalo $-125<x<-100$.

4. 4

   Multiplica en cruz y desarrolla.

   $-25000=(x+100)(x+125)=x^{2}+225x+12500$

   $\Longrightarrow\ x^{2}+225x+37500=0$

5. 5

   Calcula el discriminante. Con $a=1$, $b=225$, $c=37500$:

   $b^{2}-4ac=50625-150000=-99375<0$

   Un discriminante negativo significa que no hay raíces reales, así que la ecuación original no tiene solución real. (Coherente con el paso 3: en $-125<x<-100$ el producto $(x+100)(x+125)$ tiene una magnitud mínima demasiado pequeña para dar $-25000$.)

6. 6

   Da las raíces complejas si se piden. Como $99375=625\cdot 159$, se tiene $\sqrt{-99375}=25i\sqrt{159}$ y

   $x=\frac{-225\pm 25i\sqrt{159}}{2}=-112.5\pm 157.619i$

   Al sustituir cualquiera de los dos valores en la expresión original se reproduce $0.1$ con precisión de máquina.